Perché i tipi ricorsivi sono necessari come primitive per le prove nei sistemi di tipo dipendente?

Sono relativamente nuovo alla teoria dei tipi e alla programmazione dipendente. Ho studiato il calcolo delle costruzioni (CoC) e altri sistemi di tipo puro. Sono particolarmente interessato a usarlo come rappresentazione intermedia di conservazione delle prove per un sistema di compilazione.

Comprendo che i tipi (co) ricorsivi sono rappresentabili , dal punto di vista computazionale , usando come unico costruttore di tipi. Ho letto, tuttavia, che non possono essere utilizzati per costruire prove per induzione (perdonami, non riesco a trovare dove adesso!), Ad esempio, che non sono riuscito a dimostrare che in CoC semplice (anche se è digitabile come ). $\Pi$ $0\neq 1$ $\texttt{Nat}$ $\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N}$

Suppongo che sia per questo che hanno costruito il calcolo delle costruzioni induttive (CIC). È corretto? Ma perché? Non sono riuscito a trovare alcun materiale che spieghi perché tali prove non possano essere rappresentate senza usare tipi (co) induttivi come primitivi. Se questo non è vero, allora perché aggiungerli come primitivi in CIC?

type-theory dependent-types coq

— paulotorrens
fonte

Non sono un esperto, ma condividerò ciò che ho capito finora con un esempio.

Consideriamo il tipo booleano in CoC, usando la sua codifica standard: Potremmo aspettarci di essere in grado di dimostrare

\begin{array}{l} B = Π_{τ : *} τ \to τ \to τ \\ t t = λ τ : *, x : τ, y : τ . x \\ f f = λ τ : *, x : τ, y : τ . y \end{array}

$\begin{array}{l} \mathbb{B} = \Pi_{\tau:*} \tau \to \tau \to \tau \\ \mathsf{tt} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ x \\ \mathsf{ff} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ y \end{array}$

In effetti, ciò deriva rapidamente dal principio di eliminazione / induzione dipendente che abbiamo ad es. In CiC

Π_{b : B} b = t t \lor b = f f (*)

$\Pi_{b : \mathbb{B}} b={\sf tt} \lor b = {\sf ff} \qquad(*)$

B_{i n d} : Π_{P : B \to *} P (t t) \to P (f f) \to Π_{b : B} P (b)

$\mathbb{B}_{ind} : \Pi_{P:\mathbb{B}\to*} P({\sf tt}) \rightarrow P({\sf ff}) \rightarrow \Pi_{b:\mathbb{B}} P(b)$

Tuttavia, non possiamo davvero aspettarci che (*) rimanga in tutti i modelli di CoC! Intuitivamente, un valore in dovrebbe essere approssimativamente una famiglia di funzioni assegna a ciascun tipo un valore nell'interpretazione di . Ma questo non obbliga ad essere uno tra i valori di . Potremmo avere ad es. (Informalmente) $\mathbb{B}$ $\{f_\tau\}_{\tau}$ $\tau$ $\tau\to\tau\to\tau$ $f_\tau$ $\sf tt,ff$

f_{N} (n) (m) = n + m

$f_{\mathbb{N}}(n)(m) = n+m$

$\sf tt,ff$ $(*)$ $\mathbb{B}$

$(*)$ $(*)$ $\mathbb{B}_{ind}$

— chi
fonte

(λ (N a t : *) . (. . .)) (Π (N : *) . Π (S : N \to N) . Π (Z : N) . N)

$(\lambda(Nat:*).(...)) (\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N})$

S

$S$

Z

$Z$

— paulotorrens,

N a t

$Nat$

S, Z

$S,Z$

n

$n$

n (T) (S_{T}) (Z_{T}) = Z_{T}

$n(T)(S_T)(Z_T) = Z_T$

T

$T$

T = B

$T=\mathbb{B}$

n (B) (S) (Z) = S (Z)

$n(\mathbb{B})(S)(Z) = S(Z)$

n

$n$

λ T : * . i f T = B t h e n \dots

$\lambda T:*. {\sf if}\ T=\mathbb{B}\ {\sf then}\ \ldots$

n

$n$

Π_{T : *} T \to T

$\Pi_{T:*} T\to T$

v (T) (x) = x

$v(T)(x) = x$

T

$T$

T = N

$T=\mathbb{N}$

v (N) (x) = x + 1

$v(\mathbb{N})(x) = x+1$