Come convertire un NFA con cicli sovrapposti in un'espressione regolare?

Se ho capito bene, NFA ha lo stesso potere espressivo delle espressioni regolari. Spesso leggere espressioni regolari equivalenti da NFA è facile: traduci cicli in stelle, incroci come alternative e così via. Ma cosa fare in questo caso:

^{[ fonte ]}

I cicli sovrapposti rendono difficile vedere cosa accetta questo automa (in termini di espressioni regolari). C'è un trucco?

Piuttosto che "leggere", dovresti utilizzare uno dei diversi metodi canoncial per farlo. Di gran lunga il più bello che abbia mai visto è quello che esprime l'automa come sistema di equazioni di linguaggi (regolari) che possono essere risolti. È particolarmente bello in quanto sembra produrre espressioni più concise rispetto ad altri metodi.

Ho scritto questo documento spiegando il metodo per gli studenti l'estate scorsa. Si riferisce direttamente a una lezione specifica; il riferimento menzionato è la tipica definizione di espressioni regolari. Una prova di Lemma di Arden (un risultato necessario) è contenuta; manca uno per la correttezza del metodo. Come ho imparato a lezione, non ho un riferimento, purtroppo.

In breve: per ogni stato , creare l'equazione$q_i$

$\qquad \displaystyle Q_i = \bigcup\limits_{q_i \overset{a}{\to} q_j} aQ_j \cup \begin{cases} \{\varepsilon\} &,\ q_i \in F \\ \emptyset &, \text{ else}\end{cases}$

dove è l'insieme degli stati finali e q i a → q j significa che c'è una transizione da q i a q j etichettata con a . Se leggi ∪ come o (a seconda della tua definizione di espressione regolare), vedi che questa è un'equazione di espressioni regolari.$F$$q_i \overset{a}{\to} q_j$$q_i$$q_j$$a$$\cup$$+$$\mid$

Risolvendolo (usando il Lemma di Arden ) si ottiene un'espressione regolare per ogni stato che descrive esattamente quelle parole che possono essere accettate a partire da ; pertanto (se è lo stato iniziale) è l'espressione desiderata.$Q_i$$q_i$$Q_0$$q_0$

L'applicazione all'automa dato viene lasciata come esercizio; un esempio completo è incluso nel documento collegato sopra .

^{Vedi anche qui dove ho pubblicato una risposta simile.}

Se ci fosse solo una catena di stati senza loop, sapresti cosa fare?

Se ci fosse un semplice ciclo senza questa ramificazione sovrapposta, sapresti cosa fare?

(Se la risposta è "no", pensa prima a questi casi.)

Ora, l'idea è quella di trasformare progressivamente l'automa per metterlo in una forma in cui è possibile individuare quei modelli: catene, anelli e percorsi divergenti che si riconciliano alla fine (portando all'alternanza). Ad ogni passo della trasformazione, assicurati che l'automa trasformato riconosca ancora la stessa lingua.

Tieni presente che si tratta di un automa non deterministico. Quello che hai pubblicato sembra essere deterministico, ma non deve rimanere così quando lo trasformi.

$q_2$$q_1 \xrightarrow{f} q_2 \xrightarrow{g} q_3$$q_4$$q_2$$q_5$$q_4 \xrightarrow{j} q_5 \xrightarrow{g} q_3$

$q_3,q_4,q_5$$q_3$$q_3$$(hjg)^*$

Fai attenzione a verificare quali stati sono definitivi. All'inizio può essere utile non preoccuparsi di questo e creare un ciclo grande, quindi duplicare le parti che terminano a metà del ciclo.

Questa non è necessariamente la tecnica più efficiente o quella che genera l'espressione regolare più semplice, ma è semplice.