Lingue senza contesto chiuse sotto Inversione

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In classe questa settimana abbiamo imparato a conoscere i CFL e le loro proprietà di chiusura. Ho visto prove di unione, intersezione e complimenti, ma per l'inversione il mio conferenziere ha appena dichiarato chiuso. Volevo vedere la prova, quindi ho cercato negli ultimi giorni, ma tutto quello che ho trovato è che la maggior parte della gente dice solo che per invertire le produzioni è sufficiente per dimostrarlo. Quelli che diventano un po 'più formali affermano che esiste una semplice prova induttiva che puoi dare. Qualcuno può fornirmi ulteriori informazioni / suggerimenti sulla prova induttiva? Per quanto ci provi, non riesco a pensarci.

context-free closure-properties

— Sam Hooper
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Le tue fonti sono giuste e temo che ci sia solo poco da aggiungere, tranne il formalismo. I la retromarcia (specchio) di stringa per . $w$ $w^R$

Se è una grammatica, lasciate essere il suo invertita, quindi per la produzione di in dobbiamo a . $G$ $H$ $A\to w$ $G$ $A\to w^R$ $H$

Poi per induzione mostriamo che se e solo se . $A\Rightarrow_G^*w$ $A\Rightarrow_H^*w^R$

( Base ) a Zero passi che abbiamo se e solo se . $A\Rightarrow_G^0 A$ $A\Rightarrow_H^0 A$
( induzione ) Supponendo iff possiamo applicare qualsiasi produzione in (e in al contrario) e ottenere e rispettivamente, dove effettivamente è il contrario di . $A\Rightarrow_G^*w_1Bw_2$ $A\Rightarrow_H^*w_2^RBw_1^R$ $B\to u$ $G$ $H$ $A\Rightarrow_G^*w_1uw_2$ $A\Rightarrow_H^*w_2^Ru^Rw_1^R$ $w_2^Ru^Rw_1^R$ $w_1uw_2$

Questa è una prova molto condensata, ma contiene tutti gli ingredienti necessari. Ancora una volta, una derivazione della grammatica inversa è il contrario di quella originale. Ciò è particolarmente chiaro quando si osservano i due alberi di derivazione.

— Hendrik Jan
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questo vale per un linguaggio libero dal contesto deterministico.

— Akashchandrakar,

@aksam Deterministic CFL non sono chiusi per inversione. Il determinismo della nota per CFL di solito è definito con automi pushdown, non grammatiche.

— Hendrik Jan

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C'è un altro modo di esaminare questo problema.

Considera che il linguaggio è un CFL. Ciò significa che esiste una grammatica che soddisfa il CFL. Possiamo presumere che questo sia in forma normale di Chomsky. $L$ $G=\{N,\sum,P,S\}$

Se fa parte del linguaggio, anche banalmente fa parte del linguaggio. Ora per ogni produzione del modulo , sostituirlo con, e per le produzioni del modulo , dove , lasciarlo lo stesso. $\epsilon$ $\epsilon^R$ $P_1 \longrightarrow AB$ $P_1 \longrightarrow BA$ $P_1 \longrightarrow a$ $a \in \sum$

Dall'albero di analisi della stringa derivata, è facile vedere che la lingua derivata sarà esattamente il contrario della lingua iniziale poiché la costruzione rispecchia l'albero di analisi originale.

— Ameet Deshpande
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Non penso che questo sia "un altro modo": è esattamente allo stesso modo espresso in un modo diverso (e in realtà, penso, più facile da seguire). La parte in cui dici "è facile da vedere" è la parte in cui arriva l'induzione. Comunque, +1 poiché questa risposta è sicuramente utile.

— David Richerby,

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Prima di tutto I CFL non sono chiusi sotto intersezione o complemento (o differenza per quella materia). Sono chiusi sotto Unione, Concatenazione, chiusura della stella di Kleene, sostituzione, omomorfismo, omomorfismo inverso e inversione. NOTA: i due omomorfismi di solito non sono trattati in un corso di introduzione alla teoria dei computer.

Per dimostrare l'inversione, Sia L un CFL, con grammatica G = (V, T, P, S). Sia L ^R il contrario di L, in modo tale che la grammatica sia G ^R = (V, T, P ^R , S). Cioè, invertire ogni produzione.

Ex. P -> AB diventerebbe P -> BA

Poiché G ^R è un CFG, quindi L (G ^R ) è un CFL.

— ahaywood
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Benvenuti nel sito! Sono sorpreso che nessuno abbia notato prima che la domanda afferma erroneamente che i CFL sono chiusi sotto intersezione e complemento.

— David Richerby,