Perché è

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$3^n = 2^{O(n)}$ è apparentemente vero. Ho pensato che fosse falso però perché $3^n$ cresce più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale con una base di 2.

Com'è $3^n = 2^{O(n)}$ vero?

asymptotics landau-notation

— David Faux
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Attenzione all'abuso della notazione!

— Raffaello

Davvero non riesco a capire cosa faccia

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$ significare? prima l'ho cambiato in

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$ , dopo che ho visto di nuovo questo non ha senso. La domanda dell'IMO non ha senso.

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È estremamente comune scrivere

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$ per quello che dovrebbe essere nel senso più stretto

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$ . Così comune che non è nemmeno considerato un abuso di notazione.

— David Richerby,

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Con un po 'di algebra (e cambiando la costante in $O(n)$ ), possiamo effettivamente cambiare le basi.

3^{n} = (2^{\log_{2} 3})^{n} = 2^{n \log_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

Da $\log_2 3$ è una costante, $n\log_2 3 = O(n)$ . Così $3^n = 2^{O(n)}$ .

Non sono sicuro di cosa intendi per " $3^n$ cresce più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale con una base di 2. " $2^n = o(3^n)$ certo ma sembra che tu intenda qualcosa di più generale. La mia ipotesi è che la tua affermazione si applica a qualcosa di simile $O(3^n)$ , dove moltiplichi la base per una costante, al contrario di $2^{O(n)}$ dove moltiplichi il numero nell'esponente per una costante.

— SAMM
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$3^n$ cresce più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale con una base di $2$ .

Vero. Questo implica che $3^n = O(2^n)$ non può essere vero. Ma quello che hai qui è $2^{O(n)}$ .

Richiama questo $O(f(n))$ è davvero un insieme di funzioni e, a rigore, dovremmo scrivere $3^n \in 2^{O(n)}$ (o anche $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$ ). Il lato destro non è l'esponenziale di una funzione, ma l'esponente di un insieme di funzioni. Ampliare la definizione di big oh:

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

Dal momento che la funzione esponenziale $n \mapsto 2^n$ sta aumentando, possiamo sollevare la disuguaglianza dall'esponenziale:

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

In contrasto con

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

In $2^{O(n)}$ , la costante moltiplicativa è all'interno dell'esponenziale. In $O(2^n)$ , viene moltiplicato per l'esponenziale. $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ , quindi abbiamo (per qualsiasi $n \ge 0$ ) $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ , cioè possiamo prendere $N = 0$ e $p = \log_2 3$ , dimostrandolo $3^n \in 2^{O(n)}$ .

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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$3^n=2^{O(n)}$ è infatti vero perché se ricordi $O(n)$ definizione vedrai che puoi aggiungere / moltiplicare per qualsiasi costante. Così:

$3^n < 2^{kn}$ // $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

Come puoi vedere $2^{kn}$ è più grande allora $3^n \iff k > \log_2(3)$

— Bartosz Przybylski
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