Un interessante spazio metrico relativo alle macchine di Turing

In questa domanda consideriamo solo le macchine di Turing che si fermano su tutti gli input. Se $k \in \mathbb{N}$ allora con $T_k$ denotiamo la macchina di Turing il cui codice è $k$ .

Considera la seguente funzione

In altre parole, è il codice della più piccola macchina di Turing che riconosce precisamente una delle stringhe x, y. Ora possiamo definire la seguente mappas ( x , y ) x , y $s(x,y)$$x,y.$

Si può verificare rapidamente che $d(x,y)$ induce uno spazio metrico (in effetti un ultrametrico) su $\Sigma^{*}.$

Ora vorrei dimostrare che se $f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$ è una funzione uniformemente continua , allora per ogni linguaggio ricorsivo L, $f^{-1}(L)$ è anche ricorsivo.

In altre parole, sia $f$ una mappa tale che per ogni $\epsilon > 0$ presente un $\delta > 0$ tale che se per le stringhe $x,y \in \Sigma^{*}$

Ora, come già notato in questo post, un modo per affrontare il problema è mostrare che esiste una macchina di Turing che ha dato una stringa calcolax ∈ Σ ∗ f ( x ) $x \in \Sigma^{*}$$f(x).$

Sono bloccato a provare questa affermazione e lentamente mi chiedo se ci sia qualche altro approccio per risolverlo?

Suggerimenti, suggerimenti e soluzioni sono i benvenuti!

Modifica: rimossi i suggerimenti, pubblicata la mia soluzione.

Ecco la mia soluzione Sceglieremo un punto di riferimento x dove f ( x ) ∈ L e considereremo l'universo dal punto di vista di x e f ( x ) . Si scopre che ogni "quartiere" di un punto corrisponde a un linguaggio ricorsivo. Così$x$$f(x) \in L$$x$$f(x)$ L è un quartiere attorno a f ( x ) e ci sarà un quartiere attorno a x che mapperà ad esso; questo quartiere è un linguaggio ricorsivo.$L$$f(x)$$x$

Lemma. In questo spazio, una lingua è ricorsiva se e solo se è un quartiere di ciascuna delle sue stringhe.

Prova . In primo luogo, fissare un linguaggio ricorsivo L e lasciare che x ∈ L . Lasciare K sia l'indice minimo di un decisore per L . Poi abbiamo che se y ∉ L , s ( x , y ) ≤ K , quindi d ( x , y ) ≥ 1 / 2 K . Così d ( x , y ) < 1 / 2 K implica che y $L$$x \in L$$K$$L$$y \not \in L$$s(x,y) \leq K$$d(x,y) \geq 1/2^K$$d(x,y) < 1/2^K$L .$y \in L$

Secondo, lascia che x sia una stringa arbitraria e correggi ε > 0 ; lascia K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ . Sia L K = { y : d ( x , y ) < ε } ; quindi L K = { y : s ( x , y ) > K } . Quindi possiamo scrivere$x$$\varepsilon > 0$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

Ma L K è decidibile: sull'input y , si può simulare il primo K decisore su$L_K$$y$$K$ x ed y ed accettare se e solo se ciascuno sia accettata o respinta sia entrambi. $x$$y$$~\square$

Ora abbiamo quasi finito:

Prop. Sia f continuo. Se L è ricorsivo, allora$f$$L$ f - 1 ( L ) è ricorsivo.$f^{-1}(L)$

Prova. Sotto una funzione continua, la preimmagini di un quartiere è un quartiere.

È interessante notare che penso che in questo spazio una funzione continua sia uniformemente continua: Sia f continuo, quindi per ogni punto x , per ogni ε esiste un δ corrispondente . Correggi un ε e lascia K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ . Esiste un numero finito di sfere di dimensione ε : c'è L ( T 1 ) ∪ L ( T 2 ) ⋯ ∪ L ( T K ) ; poi c'è$f$$x$$\varepsilon$$\delta$$\varepsilon$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$\varepsilon$$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$¯ L ( T 1 ) ∪L(T2)⋯∪L(TK); quindiL(T1)∪ ¯ L ( T 2 ) ⋯∪L(TK)e così via. fassocia a ciascuna di queste lingueLiuna lingua preimmaginiL ′ i con diametro associatoδi. Per ogni$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$$f$$L_i$$L_i^{\prime}$$\delta_i$ ∈ L ′ i , d ( $x \in L_i^{\prime}$ , y ) ≤ δ i⟹d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ ε . Quindi possiamo prendere il minimo su questi molti δ finementeper ottenere la costante di continuità uniforme δ associata a questo ε .$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$$\delta$$\delta$$\varepsilon$