Massimizzare una funzione convessa con un vincolo lineare

aumentare al massimo f (X) soggetto a UN X = B

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

dove

f (X) = Σ_{io = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{X_{io}^{4}}{{(Σ_{io = 1}^{N} X_{io}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ e . $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Possiamo vedere che è convesso e della forma . Si può anche dimostrare che è limitato in . So che un problema di massimizzazione convessa è NP-difficile, in generale. $f$ $\sqrt{1+y^2}$ $f$ $[\sqrt{2}, 2]$

Tuttavia, utilizzando la natura specifica del problema, è possibile risolverlo utilizzando un software / pacchetto di ottimizzazione convesso standard?

optimization

— Sooraj
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Ci sono due sommazioni, una dentro l'altra, che usano la stessa "variabile di ciclo" . Sembra chiaro dal contesto quali usi di sono quali, ma per favore correggi per chiarezza.

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker,

Sì, l'ottimizzazione convessa con vincolo di uguaglianza è NP-Hard in generale. Tuttavia, esistono tecniche mature che trovano soluzioni approssimative molto valide per problemi di ottimizzazione convessa, come Coordinate Descent.

Supponiamo che tu usi la discesa delle coordinate e che la matrice A abbia rango . È possibile risolvere nk-1 coordinate della soluzione ammissibile e quindi i vettori soluzione nello spazio soluzione sono determinate univocamente da una coordinata, per esempio . In tal caso, puoi semplicemente prendere la derivata di rispetto a per trovare il massimo in questa iterazione. $k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

Quindi ripariamo iterativamente le coordinate nk-1 e miglioriamo la soluzione fino a quando non viene trovata una approssimativamente ottimale.

— strin
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@RodrigodeAzevedo: Non è una contraddizione o una sorpresa che LP, un caso speciale di ottimizzazione convessa, sia più facile del caso generale.

— j_random_hacker