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È possibile che $\mathsf{P} \not = \mathsf{NP}$ e la cardinalità di $\mathsf{P}$ sia uguale alla cardinalità di $\mathsf{NP}$ ? O $\mathsf{P} \not = \mathsf{NP}$ significa che $\mathsf{P}$ e $\mathsf{NP}$ devono avere cardinalità diverse?

È noto che P $\subseteq$ NP $\subset$ R, dove R è l'insieme delle lingue ricorsive. Dato che R è numerabile e P infinito (ad es. Le lingue $\{n\}$ per $n \in \mathbb{N}$ sono in P), otteniamo che P e NP sono entrambi numerabili.

Se sei preoccupato per la dimensione di due insiemi P e NP, la dimensione di entrambi questi insiemi è infinita ed uguale.

Se questi due set sono uguali, anche le loro dimensioni sono uguali. Se non sono uguali, poiché sono numerabili, la loro cardinalità è uguale alla cardinalità dei numeri naturali e uguale.

Quindi, in entrambi i casi, la loro cardinalità è uguale.

Lavoro principalmente in matematica e ho solo un po 'di familiarità con questo tipo di problema. Tuttavia, la teoria degli insiemi è una delle mie aree di studio preferite e questa sembra essere una domanda di teoria dell'insieme.

Quindi, per cominciare, sia P che NP sono numericamente infiniti come altri hanno già sottolineato. Quindi, non ha senso discutere ulteriormente la cardinalità di P e NP.

Tuttavia, in generale:

La disuguaglianza del set non informa sulla dimensione di un set. Ad esempio, e B = { 4 , 5 , 6 } . A ≠ B , ma | A | = | B | . Considera anche, C = { 1 , 2 , 3 } e D = { 4 , 5 } . C $A=\{1,2,3\}$$B=\{4,5,6\}$$A\neq B$$|A|=|B|$$C=\{1,2,3\}$$D=\{4,5\}$ e | C | ≠ | D | .$C\neq D$$|C|\neq|D|$

Tuttavia, per definizione, impostare l'uguaglianza ci informa sulla cardinalità. Se , allora | A | = | B | . Considera il caso di A = { 1 , 2 , 3 } e B = { 1 , 2 , 3 } . A = B e | A | = | B | .$A=B$$|A|=|B|$$A=\{1,2,3\}$$B=\{1,2,3\}$$A=B$$|A|=|B|$

Se due insiemi sono numerabili infiniti, condividono la stessa cardinalità. P e NP sono entrambi infinitamente numerabili, quindi riassume praticamente tutto ciò.