Perché facciamo isomorfismo, automorfismo e omomorfismo?

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Quali sono le principali differenze tra questi tre termini isomorfismo, automorfismo e omomorfismo nel linguaggio semplice laico e perché facciamo isomorfismo, automorfismo e omomorfismo?

graph-theory

— Xara
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L'isomorfismo formalizza la nozione di grafici uguali . Ad esempio, in questa figura vengono visualizzati tre grafici isomorfi inserisci qui la descrizione dell'immagine

Più formalmente, un isomorfismo dei grafici e è una che preserva l'adiacenza. Vale a dire: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

Non è difficile trovare una tale biiezione per ogni coppia di grafici sull'immagine.

Ora se la mappatura ottenuta diventa un automorfismo - un isomorfismo dal grafico a se stesso. $G_1 = G_2$

Potresti chiedere qual è la nozione intuitiva di automorfismo del grafico e la risposta è che ti dà qualche tipo di informazione di quali vertici sono "equivalenti" in un grafico. In altre parole, se v'è un automorfismo di il grafico tale che il vertice è mappato a vertice poi in modo prossimità di e "guarda" lo stesso. $f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

Questo a sua volta porta alla nozione di simmetrie grafiche . Si dice che un grafico è transitivo ai vertici se per ogni coppia di vertici esiste un automorfismo tale che Un esempio di un grafico transitivo dei vertici è il grafico di Petersen $G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

e come puoi vedere i grafici "sembrano" piuttosto simmetrici. Questo perché ha "molti" automorfismi del tipo descritto.

Gli omomorfismi grafici di solito non sono studiati dai laici e hanno più o meno scopi teorici. Ad esempio sono strettamente correlati alla nozione di colorazioni dei vertici. Vedi anche la congettura di Hadwiger

— Jernej
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... gli omomorfismi di solito non sono studiati dai laici ... esilaranti! +1

— Pratik Deoghare

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Nel contesto della teoria dei grafi, un omomorfismo è una mappatura tra due grafici che mappa i vertici adiacenti in ai vertici adiacenti in . In altre parole, per ogni bordo , il bordo . L'omomorfismo del grafico implica molte proprietà, inclusi i risultati nella colorazione del grafico. $h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

Ora un isomorfismo grafico è un omomorfismo biettivo, il che significa che è inverso è anche un omomorfismo. Se due grafici sono isomorfi, allora sono essenzialmente lo stesso grafico, solo con una rietichettatura dei vertici. Il problema di determinare se due grafici sono isomorfi l'uno rispetto all'altro è un problema importante nella teoria della complessità.

Finalmente un automorfismo è isomorfismo da un grafico a se stesso.

— Marc Khoury
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