Proprietà decidibili di reali calcolabili

Il "teorema di Rice per i reali calcolabili" - cioè, nessuna proprietà non banale del numero rappresentato da un dato reale calcolabile è decidibile - vero?

Ciò corrisponde in qualche modo diretto alla connessione dei reali?

computability real-numbers computable-analysis

— Shachaf
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Sì, il teorema di Rice per i reali si trova in ogni versione ragionevole dei reali calcolabili.

Per prima cosa dimostrerò un certo teorema e un corollario e spiegherò in seguito cosa ha a che fare con la calcolabilità.

Teorema: supponiamo che sia una mappa e due reali tali che e . Quindi esiste una sequenza di Cauchy tale che per tutti . $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ $j \in \mathbb{N}$

Prova. Costruiamo una sequenza di coppie di reali come segue: Osservalo per tutti : $(y_i, z_i)_i$

\begin{aligned} (y_{0}, z_{0}) & = (a, b) \\ (y_{i + 1}, z_{i + 1}) & = {\begin{cases} (y_{i}, (y_{i} + z_{i}) / 2) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 1 \\ ((y_{i} + z_{i}) / 2, z_{i}) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$

i \in N

$i \in \mathbb{N}$

$p(y_i) = 0$ e $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

Quindi le sequenze e sono Cauchy e convergono in un punto comune . Se allora prendiamo , e se allora prendiamo . $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

Corollario: supponiamo che e due reali tali che e . Quindi ogni macchina di Turing o funziona per sempre o non funziona per sempre. $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

Prova. Secondo il teorema, esiste una sequenza di Cauchy tale che per tutti . Senza perdita di generalità possiamo supporre che e . $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

Lascia che sia una macchina di Turing. Definire una sequenza con La sequenza è ben definita perché possiamo simulare fino a passaggi e decidere se si è interrotto o meno all'interno di quei tanti passaggi. Quindi, osserva che è una sequenza di Cauchy perché è una sequenza di Cauchy (la lasciamo come esercizio). Lascia che . Sia o : $T$ $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} x_{j} & if T halts in step j and j \leq i \\ x_{i} & if T does not halt within i steps \end{cases}

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T

$T$

i

$i$

(y_{i})_{i}

$(y_i)_i$

(x_{i})_{i}

$(x_i)_i$

z = lim_{i} y_{i}

$z = \lim_i y_i$

p (z) = 0

$p(z) = 0$

p (z) = 1

$p(z) = 1$

se allora funziona per sempre. Infatti, se si fermasse dopo passaggi, avremmo , e quindi contraddirebbe . $p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
se allora non funziona per sempre. In effetti, se così fosse, avremmo , e quindi , in contraddizione con . $p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

Ora possiamo spiegare perché questo ci dà il teorema di Rice per numeri reali. Le prove sono costruttive, quindi producono procedure calcolabili. Ciò vale per qualsiasi modello di calcolabilità e per qualsiasi struttura di calcolo dei reali che merita di essere chiamata così. In effetti, puoi tornare indietro e leggere la prova come istruzioni per la creazione di un programma: tutti i passaggi sono calcolabili.

Pertanto, se avessimo una mappa calcolabile e calcolabile tale che e , quindi potremmo applicare le procedure calcolabili derivanti dalle prove costruttive del teorema e del corollario per creare l'oracolo di Halting. Ma l'oracolo di Halting non esiste, pertanto ogni mappa calcolabile è costante. $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

Supplemento: c'era anche una domanda sul fatto che il teorema di Rice sia collegato alla connessione dei reali. Sì, è essenzialmente l'affermazione che i reali sono collegati.

Osserviamo innanzitutto che una mappa continua (prendiamo la topologia discreta su ) corrisponde a una coppia di insiemi clopen (chiusi e aperti) disgiunti tale che . In effetti, prendi e . Poiché è continua e e sono aperti, e saranno aperti, disgiunti, e ovviamente coprire tutto . Al contrario, qualsiasi coppia di clopens disgiunti che coprono determina una mappa continua $p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ che mappa gli elementi da a e gli elementi da a . $U$ $0$ $V$ $1$

Da ciò apprendiamo che uno spazio è disconnesso se, e solo se, esiste una mappa continua e tale che e (abbiamo bisogno di e in modo da ottenere una decomposizione non banale di ). C'è un altro modo di dire la stessa cosa: uno spazio è collegato se, e solo se, tutte le mappe continue da sono costanti. $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

Nella matematica calcolabile abbiamo un teorema di base: ogni mappa calcolabile è continua . Quindi, fintanto che siamo nel regno di oggetti calcolabili, il teorema di Rice afferma infatti che un certo spazio è collegato. Nel caso del classico teorema di Rice, lo spazio in questione è lo spazio di funzioni parziali calcolabili da . $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer
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Grazie! Questo è quello che stavo cercando. Qualche idea sull'altra domanda: se questa è direttamente correlata alla connessione dei reali?

— Shachaf,

Ho aggiunto una spiegazione sul fatto che il teorema di Rice è in realtà una forma di teorema di connessione.

— Andrej Bauer,

Supponiamo che e definisci se non si ferma entro passi e altrimenti. Se T non si ferma, allora converge in , altrimenti converge in . Se sono calcolabili, quindi dato , si può generare una macchina calcolando il limite di . Perché questo non è abbastanza per dimostrare che non può essere calcolabile o anche semidecidabile (poiché non si ferma se è

p (x) = 1, p (x^{'}) = 0

$p(x)=1, p(x')=0$

y_{i} = x

$y_i=x$

T

$T$

i

$i$

y_{i} = x^{'}

$y_i=x'$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

x, x^{'}

$x,x'$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

p

$p$

T

$T$

p

$p$

1

$1$ al limite). Ovviamente mi manca qualcosa, dal momento che ci sono proprietà non banali che sono semidecide.

— Ariel,

La tua definizione di è ok, ma hai anche bisogno di un tasso calcolabile di convergenza della sequenza per affermare che il suo limite è calcolabile. Dal momento che non possiamo calcolare a quale indice la sequenza potrebbe saltare da a (oppure potremmo calcolare a quale punto fermerà), non è possibile avere un tale tasso calcolabile di convergenza.

T

$T$

y_{i}

$y_i$

i

$i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

T

$T$

— Andrej Bauer,

-1

No. O almeno la dimostrazione non è banale, dal momento che puoi scegliere tra i (generalmente molti) modi possibili per calcolare un reale, e potresti essere in grado di sceglierne uno con una struttura totale rispetto alla proprietà scelta in modo che non ridurre il test della proprietà al problema di arresto.

Inoltre, penso di aver bisogno di una migliore comprensione di cosa significhi "non banale" rispetto alle proprietà dei numeri. Per il teorema di Rice, "non banale" è fondamentalmente non sintattico e non implicito dalla sintassi. Tuttavia, ogni numero reale calcolabile non è un singolo programma, ma piuttosto una classe di equivalenza piena di programmi.

— Boyd Stephen Smith Jr.
fonte

Non sono sicuro di cosa intendi, qui. Stai cercando di distinguere tra numeri reali calcolabili (ad es. , , , ecc.) E i programmi che li calcolano? Certo, ci sono infiniti programmi che calcolano ogni reale calcolabile, ma ci sono anche infinitamente molte macchine di Turing che decidono qualsiasi linguaggio decidibile, e il normale teorema di Rice non ha alcun problema.

2

$2$

22 / 7

$22/7$

π

$\pi$

— David Richerby,

Le diverse rappresentazioni dei reali calcolabili hanno effettivamente proprietà di calcolo significativamente diverse? Diciamo che sto usando una delle definizioni su en.wikipedia.org/wiki/Computable_number , ad esempio un reale calcolabile è rappresentato da un programma che prende un limite di errore razionale e produce un'approssimazione all'interno di quel limite. Intendo "banale" nello stesso senso del teorema di Rice: una proprietà che si applica a tutti i reali calcolabili o a nessuno di essi. È vero che ogni numero può essere rappresentato da più programmi, ma ciò vale anche per le funzioni parziali.

— Shachaf,

@Shachaf Questo è più "banale" del Teorema di Rice. Le proprietà "sintattiche" sono anche banali - ad esempio "ha almeno 4 stati raggiungibili dallo stato iniziale", "ha un grafico di stato collegato", "non ha alcuna transizione che scrive X sul nastro", ecc. - E hanno bisogno di non vale per ogni macchina.

— Boyd Stephen Smith Jr.

@DavidRicherby Sì, penso che la distinzione sia necessaria. Se sei in grado di lavorare esclusivamente con rappresentazioni totali o produttive, hai più potere.

— Boyd Stephen Smith Jr.

Il teorema di Rice riguarda le proprietà delle funzioni parziali, non gli algoritmi che le calcolano. Allo stesso modo, sto chiedendo delle proprietà dei reali calcolabili, non dei programmi che li calcolano.

— Shachaf,