Importanza della ricorsione nella teoria della calcolabilità

Si dice che la teoria della computabilità sia anche chiamata teoria della ricorsione. Perché si chiama così? Perché la ricorsione ha tanta importanza?

Negli anni 1920 e 1930 la gente stava cercando di capire cosa significasse "calcolare efficacemente una funzione" (ricordate, non c'erano macchine informatiche per scopi generici in giro, e il calcolo era qualcosa fatto dalle persone).

Sono state proposte diverse definizioni di "calcolabile", di cui tre più conosciute:

1. Il calcolo $\lambda$
2. Funzioni ricorsive
3. Macchine di Turing

$\lambda$

Più tardi, ci fu uno sforzo, reso popolare da Robert Soare , per cambiare da "ricorsivo" a "calcolabile". Così oggi parliamo di funzioni calcolabili e di insiemi calcolabili. Ma molti libri di testo più vecchi, e molte persone, preferiscono ancora la terminologia "ricorsiva".

Questo per quanto riguarda la storia. Possiamo anche chiedere se la ricorsione è importante per il calcolo da un punto di vista puramente matematico. La risposta è un "sì!" Molto preciso. La ricorsione è alla base di linguaggi di programmazione generici (anche i whileloop sono solo una forma di ricorsione perché while p do cè la stessa di if p then (c; while p do c)) e molte strutture di dati fondamentali, come elenchi e alberi, sono ricorsive. La ricorsione è semplicemente inevitabile nell'informatica e nella teoria della calcolabilità in particolare.

La teoria della computabilità è lo studio delle funzioni calcolabili :-).

Tali funzioni sono generalmente (in questa comunità) definite come funzioni che possono essere espresse con una macchina di Turing.

$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

Come risulta se si definiscono le funzioni calcolabili in questo modo (programmi) sono equivalenti all'insieme di funzioni che si possono ottenere usando le regole qui descritte . Sono chiamate funzioni ricorsive poiché una delle regole per ottenere tali funzioni è una definizione ricorsiva (vedi la quinta regola su Wikipedia).

Quindi il motivo per cui la teoria della ricorsione ha molta importanza equivale alla domanda sul perché le funzioni calcolabili sono importanti. E la risposta a quest'ultima dovrebbe essere abbastanza ovvia :)