Algoritmi che calcolano se un numero è un multiplo di 3

Quando si esegue il calcolo mentale si può fare:

• Dato un numero intero k, sommare tutte le cifre (in base 10) e se il risultato è un multiplo di 3, allora k è un multiplo di 3.

Conosci qualche algoritmo che funziona in modo simile ma che funziona su cifre (bit) di numeri binari?

• Inizialmente, stavo pensando di usare le funzioni già pronte del mio linguaggio per convertire numeri interi in ascii per eseguire la conversione dalla base 2 alla base 10, quindi applicare il trucco del calcolo mentale. Ma ovviamente potrei anche codificare me stesso la conversione base da 2 a 10. Non l'ho ancora fatto, ma ci proverò.

• Poi ho pensato alla divisione euclidea nella base 2 ...

Tuttavia mi chiedo se ci siano altri mezzi, algoritmi.

Considera le seguenti due osservazioni (lasciate come esercizio al lettore):

1. I poteri pari di due sono 1 modulo 3.
2. I poteri dispari di due sono -1 modulo 3.

Concludiamo che un numero (in binario) è divisibile per tre se e solo se la somma dei bit nelle posizioni pari è uguale alla somma dei bit nelle posizioni dispari modulo 3.

Che dire di un automa a stati finiti per il lavoro?

Ovviamente la magia è solo il calcolo modulo 3. L'aggiunta del simbolo dietro la stringa x significa che il "valore binario" della stringa va da v a l ( x ) per x a 2 ⋅ v a l ( x ) + a per x a . Di conseguenza dallo stato p e dal simbolo a ci spostiamo allo stato 2 p + a mod 3 , per p ∈ { 0 , 1 , $a$$x$$val(x)$$x$$2\cdot val(x)+a$$xa$$p$$a$$2p+a \bmod 3$ e un ∈ { 0 , 1 } . Nota x ∈ { 0 , 1 } ∗ è una stringa, dove v a l ( x ) ∈ N è il suo valore come stringa binaria.$p\in \{0,1,2\}$$a\in \{0,1\}$$x\in \{0,1\}^*$$val(x)\in \Bbb{N}$

In binario, i numeri 1, 100, 10000 (= 100 × 100), 1000000 (= 100 × 100 × 100) ecc. Danno tutti lo stesso resto dopo aver diviso per 11 (tre). Pertanto, se dividiamo un numero binario in parti di lunghezza pari , la somma delle parti fornisce lo stesso resto del numero originale.

(Quando si divide il numero, si aggiungono tutti gli zeri necessari all'inizio . Ad esempio, si dividerebbe 10111 nei gruppi 01,01,11 o 0001,0111.)

Matematicamente, basta dividere il numero in gruppi di due cifre, quindi aggiungere i gruppi; e ripeti fino a quando il risultato diventa 00 o 11 = il numero originale era un multiplo di tre; o 01 o 10 = il numero originale non era un multiplo di tre.

Per un programma per computer, l'utilizzo di gruppi di otto o sei settanta o trentadue bit potrebbe essere più veloce per la tua CPU. Ad esempio, se l'aggiunta a otto bit è la più veloce, basta sommare tutti i byte e ancora, fino a quando il risultato non si adatta a un byte. Quindi utilizzare un'istruzione per determinare il resto dopo aver diviso per tre.

(Nota: qui assumiamo numeri interi senza segno. Con un numero con segno , richiede un po 'più di attenzione. Ad esempio 129 è un multiplo di 3, ma -127 non lo è, sebbene i bit 10000001 significino per ex come byte senza segno e quest'ultimo come byte con segno.)

Sebbene non sia specifico per i binari, in caso di dubbio, la sottrazione ripetuta è sempre un modo infallibile per calcolare la divisione con resto (e quindi se un numero è un multiplo di 3).