Estratto di heap binario potenziale funzione max O (1)

Ho bisogno di aiuto per capire la potenziale funzione di un heap massimo in modo che l'estrazione massima sia completata nel tempo ammortizzato . Dovrei aggiungere che non ho una buona conoscenza del metodo potenziale. $O(1)$

So che la funzione di inserimento dovrebbe "pagare" di più al fine di ridurre il costo dell'estrazione, e questo deve essere rispetto all'altezza dell'heap (se fornisce l'altezza dell'heap se il inserire essere o ) $\lfloor \log(n) \rfloor$ $2\log(n)$ $\sum_{k=1}^n 2\log(k)$

— andrei
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Prova quanto segue:

Il peso di un elemento nell'heap è la sua profondità corrispondente albero binario. Quindi l'elemento nella radice ha peso zero, i suoi due figli hanno peso 1 e così via. L'utente definisce come potenziale funzione $w_i$ $i$ $H$

Φ (H) = \underset{io \in H}{Σ} 2 w_{io} .

$\Phi(H)=\sum_{i\in H}2 w_i.$

Analizziamo ora le operazioni di heap. Per inserire aggiungi un nuovo elemento aggiungi profondità al massimo . Ciò aumenta il potenziale di e può essere eseguito in tempo. Quindi si "bolle" il nuovo elemento heap per assicurare la proprietà heap. Questo richiede tempo e lascia invariato . Pertanto i costi per l'inserimento sono $d$ $\log(n)$ $2d$ $O(1)$ $O(\log n)$ $\Phi(H)$ . $O(\log(n)+\Delta(\Phi(H)))=O(\log n)$

Ora considera extractMin . Si elimina la radice e la si sostituisce con l'ultimo elemento nell'heap. Questo riduce il potenziale di , quindi puoi permetterti di riparare la proprietà heap e quindi i costi ammortizzati sono ora . $2\log(n)$ $O(1)$

Se hai una domanda generale per la potenziale funzione, dovresti presentarla come una domanda diversa.

— A.Schulz
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Sono sicuro che hai ragione ma non ho capito l'inserimento. Perché

invariato? Scusa se la risposta è ovvia, ma potresti espandere

? Non riesco a capire perché tu abbia un numero negativo lì

Δ (Φ (H)))

$\Delta(\Phi(H)))$

Δ

$\Delta$

— Andrej

Δ (Φ (H))

$\Delta(\Phi(H))$

2 \log (n)

$2\log(n)$

Come funziona la riparazione O (1)? A che serve la potenziale funzione per riparare l'heap? Potresti chiarire, per favore

— Sohaib,

@Sohaib: la riparazione richiede

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

@ A.Schulz Quindi, questo in sostanza significa che dato che l'operazione di estrazione viene eseguita n numero di volte da quando ogni volta la potenziale funzione diminuisce di 2logn (può aumentare o meno allo stesso modo al momento della riparazione). La complessità complessiva per una cosa del genere sarebbe un tempo costante poiché alla fine non ci sarebbe alcun nodo nella struttura. Ho ragione?

— Sohaib,