La mia visione è più o meno simile a quella di chi. Vedo la teoria delle categorie come (approssimativamente) l'essere per digitare la teoria che la teoria dei modelli è per la logica. Alcune delle conseguenze di ciò sono, in primo luogo, ognuna può esistere autonomamente. In effetti, la teoria dei tipi precede la teoria delle categorie e la creazione della teoria delle categorie non è stata motivata da queste preoccupazioni. In secondo luogo, molte delle distinzioni teoria / modello della categoria che stanno deliberatamente cercando di sfocare sono di interesse primario nella teoria / logica dei tipi.
Come esempio molto semplice, tutte le presentazioni degli assiomi di un gruppo danno origine alla stessa classe di modelli (vale a dire i gruppi). Dal punto di vista dell'algebra universale, una varietà (nel senso dell'algebra universale o una categoria algebrica finitaria dal punto di vista CT) dimentica la sua presentazione. Nel frattempo, dal punto di vista della logica equazionale, la presentazione è tutto ciò che c'è. Un argomento di calcolo primario qui è l' unificazione elettronica che opera interamente a livello di logica equazionale, cioè presentazione.
Questo è tipico Diciamo che il semplice calcolo lambda (con prodotti) (STLC) è la lingua interna delle categorie chiuse cartesiane, ma in realtà è solo una presentazione della lingua interna e nemmeno la più "diretta". La macchina categorica astratta (CAM) è probabilmente una rappresentazione più "diretta". Anche con l'STLC, le frecce della corrispondente categoria sintattica sonoβηclassi di equivalenza dei termini lambda! (Ma vedi questo .) Quindi o in qualche modo descriviamo direttamente la categoria sintattica come una struttura matematica i cui hom-set coincidono conβηclassi di equivalenza dei termini STLC e non hanno contenuto computazionale , oppure dobbiamo già comprendere lo STLC esterno alla teoria delle categorie, oppure dobbiamo parlare invece di presentazioni di categorie chiuse cartesiane che, adottando un approccio abbastanza naturale, porteranno a qualcosa di CAM -piace. Nell'ultimo caso, l'uguaglianza delle frecce diventa qualcosa di simile a un problema di unificazione elettronica. Comprendere e semplificare questo processo, nonché porre di fronte la facciata più ergonomica della STLC, richiede tecniche che sono il pane e il burro della logica e della teoria dei tipi, ma non sono particolarmente naturali nella teoria delle categorie.
Un quadro enormemente semplificato che può tuttavia dare un'idea migliore di come la teoria delle categorie e la teoria dei tipi siano le seguenti. Puoi immaginarli come due dimensioni. Gli strumenti, le tecniche e le notazioni della teoria dei tipi sono orientati a spostarsi verticalmente tra diverse presentazioni dello stesso oggetto, nel frattempo gli strumenti, le tecniche e le notazioni della teoria delle categorie e orientati a spostarsi orizzontalmente tra diversi oggetti matematici. Si potrebbe anche dire che una categoria è un'intera linea verticale e che la teoria delle categorie parla di spostare una linea verticale su un'altra, ma non come corrispondano i punti delle due linee. In questa immagine, la teoria delle categorie non è nemmeno in grado di parlare delle distinzioni che la teoria del tipo sta facendo, ma questo è intenzionale perché significa che la mappatura arbitrariamente complicata di punti su una linea verticale su punti su un'altra è irrilevante per ciò a cui la teoria di categoria tiene e può essere ignorata.
Nel mio post sul blog, Categoria Teoria, sintatticamente , descrivo un approccio che rende la teoria delle categorie più simile alla teoria dei tipi (piuttosto che viceversa). Non sorprende che ciò di cui sto davvero discutendo ci siano presentazioni di categorie. Inoltre, puoi vedere aspetti della normalizzazione entrare nell'immagine, ad esempio nella mia discussione sulle "teorie del prodotto", anche se questo non è un focus su tutto quel particolare post.