Esistono altri modi per descrivere linguaggi formali diversi dalle grammatiche?

Sto cercando teorie matematiche che descrivono i linguaggi formali (insieme di stringhe) in generale e non solo le gerarchie grammaticali.

Ci sono molte possibilità. Altri hanno già menzionato automi che offrono una ricca selezione. Considera anche i seguenti framework:

1. Alcune lingue possono essere definite direttamente da definizioni (co) induttive . Ad esempio, il punto di correzione più piccolo di
   è la stessa lingua di quella descritta da(ba∣a)∗, il punto di fissaggio più grande è(ba∣a)ω. Si noti che tale definizione può anche essere scritta informa diregola dicalcolo oinferenza:$\qquad \begin{align*} \phantom{a} \\ &\phantom{\Rightarrow}\ \varepsilon \in L \\ w \in L &\Rightarrow aw \in L \\ aw \in L &\Rightarrow baw \in L \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$(ba\mid a)^\omega$
   $\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \frac{}{\varepsilon}, \quad \frac{w}{aw}, \quad \frac{aw}{baw} \\ \phantom{a} \end{align*}$

2. Le parole definiscono strutture di parole che possono essere utilizzate come modelli di formula logica . In sostanza, ogni parola definisce il dominio delle sue posizioni , predicati P a : D → { 0 , 1 } in modo che P a ( i ) ⟺ w i = a per tutti a ∈ Σ , un predicato < che è < da $D_w = \{1, \dots, n\}$$P_a : D \to \{0,1\}$$P_a(i) \Longleftrightarrow w_i = a$$a \in \Sigma$$<$$<$$\mathbb{N}$limitato a e un success predicato : D w × D w → { 0 , 1 } che è vero se e solo se il secondo parametro è il successore diretto del pugno. Quindi, per esempio, se w = a a b a b a a b allora$D_w$$\operatorname{suc} : D_w \times D_w \to \{0,1\}$
   $w = aababaab$
   in effetti, questaformula del primo ordinedefinisce --- tramite l'insieme di tutte le strutture di parole che la soddisfano --- la stessa lingua di(ba∣a)∗. Il corrispondenteω-language(bun|a)ωè descritto dallaformula LTL$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ S_w \models \forall\, i. \forall\, j.\ (P_b(i)\ \land\ \operatorname{suc}(i,j)) \to \lnot P_b(j); \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$\omega$$(ba\mid a)^\omega$
   Sono note diverse equivalenze tra classi di lingue classiche e determinate logiche. Ad esempio,FOcorrisponde a lingue prive di stelle,MSOdebolea lingue normali eMSOalingue regionaliω. Vediquiper i riferimenti.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \square\,(P_b \to\bigcirc(\lnot P_b)) \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\omega$

3. Qualcosa di ortogonale alle classi classiche sono i linguaggi di pattern . Supponi un alfabeto terminale e un alfabeto variabile X = { x 1 , x 2 , ... } . Una stringa p ∈ ( Σ ∪ X ) + è chiamata modello . Sia H = { σ ∣ σ : X → Σ ∗ } l'insieme delle sostituzioni. Definiamo la lingua di un modello p come$\Sigma$$X=\{x_1, x_2,\dots\}$$p \in (\Sigma \cup X)^+$$\mathcal{H}= \{\sigma \mid \sigma : X \to \Sigma^*\}$$p$
   Notare cheσè esteso per lavorare sui pattern; i simboli dei terminali rimangono invariati. Ad esempio, consideraL(x1abbax1)={wabbaw∣w∈{a,b}∗}.$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \mathcal{L}(p) = \{\sigma(p) \mid \sigma \in \mathcal{H}\}. \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\sigma$
   $\mathcal{L}(x_1abbax_1)= \{wabbaw\mid w \in \{a,b\}^*\}$
   Si noti che consentiamo alle sostituzioni di eliminare le variabili; alcune proprietà della classe dei linguaggi di pattern sono enormemente diverse per le sostituzioni con cancellazione o non cancellazione. Le lingue modello sono di particolare interesse per l' apprendimento in stile Gold .

Dovresti dare un'occhiata alla teoria degli automi . C'è molto materiale a riguardo.

Ad esempio, puoi definire un linguaggio regolare con un automa finito non deterministico con bordi etichettati: una stringa appartiene alla lingua se l'automa può seguire le transizioni etichettate dai suoi caratteri e si ferma in uno stato finale.

Inoltre, una grammatica senza contesto può essere riconosciuta da un automa pushdown .

Un altro modo per definire le lingue è tramite le macchine di Turing .

Dalla gerarchia di Chomsky ci sono quattro tipi di linguaggi formali (ognuno di essi è un sottoinsieme di quelli che seguono):

Un linguaggio formale regolare può essere descritto da:

1. Grammatica regolare
2. Automa finito (deterministico / non deterministico)
3. Espressione regolare

1., 2. e 3. sono equivalenti e da uno di essi puoi costruire gli altri.

Un linguaggio formale senza contesto può essere descritto da:

1. Grammatica senza contesto
2. Automa pushdown

Anche 1. e 2. sono equivalenti.

Un linguaggio formale sensibile al contesto può essere descritto da:

1. Automa lineare limitato (macchina di Turing con nastro limitato)

Un linguaggio formale enumerabile ricorsivamente può essere descritto da:

1. Macchina di Turing totale

Oltre alle altre risposte, si possono descrivere e classificare le lingue in termini di "generatori" e proprietà di chiusura. Ad esempio, ha senso parlare del più piccolo AFL generato da un linguaggio. Un buon posto per iniziare a conoscere questo tipo di descrizione è questo libro, anche se può essere abbastanza difficile trovarne una copia cartacea.