Esistono insiemi numerabili che non sono calcolabili in modo calcolabile?

Un insieme è numerabile se ha una biiezione con i numeri naturali ed è calcolabile (ce) calcolabile se esiste un algoritmo che elenca i suoi membri.

Qualsiasi insieme non numerabile calcolabile calcolabile deve essere numerabile in quanto possiamo costruire una biiezione dall'enumerazione.

Ci sono esempi di insiemi numerabili che non sono calcolabili in modo calcolabile? Cioè, esiste una biiezione tra questo insieme e i numeri naturali, ma non esiste un algoritmo in grado di calcolare questa biiezione.

computability semi-decidability

— Peter Olson
fonte

La terminologia stabilita è calcolabile enumerabile . Molte persone diranno che "numerabile" e "enumerabile" sono sinonimi. Ho modificato la domanda di conseguenza.

— Andrej Bauer,

@AndrejBauer, computabilmente e ricorsivo sono sinonimici, giusto?

— rus9384,

@ rus9384 Sì. Per quanto riguarda il vocabolario, la chiarezza dovrebbe regnare, come scrive Robert Irving Soare in Turing-Post Relativized Computability and Interactive Computing (2011) : nel 1995 la confusione era diventata intollerabile. Ho scritto un articolo su Computability and Recursion for the Bull. di Sym. Logica (1996) sulla storia e le ragioni scientifiche del perché dovremmo usare "calcolabile" e non "ricorsivo" per significare "calcolabile". "Ricorsivo" dovrebbe significare "induttivo" come per Dedekind e Hilbert. All'inizio, pochi erano disposti a fare un simile cambiamento ...

— David Tonhofer,

Risposte:

Ci sono esempi di insiemi numerabili che non sono enumerabili?

Sì. Tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali sono numerabili, ma non tutti sono enumerabili. (Prova: ci sono innumerevoli diversi sottoinsiemi di ma solo numerosamente molte macchine Turing che potrebbero agire come enumeratori.) Quindi qualsiasi sottoinsieme di che già sai non è ricorsivamente enumerabile è un esempio - tale come l'insieme di tutti i numeri che codificano le macchine di Turing che si fermano per ogni input. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$

— David Richerby
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@JorgePerez No e no .

— David Richerby,

Ciò dimostra l'esistenza, ma non fornisce un esempio.

— BlueRaja - Danny Pflughoeft

@ BlueRaja-DannyPflughoeft, dare un esempio equivale a elencarne uno. "Puoi fare un esempio di qualcosa di cui non puoi fare un esempio? No? Pertanto non c'è nulla di cui non puoi fare un esempio." Questo è costruttivismo matematico in breve.

— Wildcard il

L'immagine della funzione di castoro occupato sarebbe un tale set? Poiché sta aumentando rigorosamente, forma banalmente una biiezione con , ma non esiste una macchina di Turing in grado di enumerare .

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

N

$\mathbb{N}$

Σ

$\Sigma$

— orlp,

@Wildcard No, dare un esempio equivale a definirne uno, no? Ci sono insiemi che possono essere definiti ma non possono essere enumerati da un algoritmo, come l'insieme di tutte le macchine di Turing che non si fermano.

— Tanner Swett,

Sì, ogni lingua indecidibile (non semi-decidibile) ha questa proprietà.

Ad esempio, considera l'insieme . $L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

Supponiamo di avere un algoritmo in grado di enumerare i membri di questo set. Se esistesse un tale algoritmo, potremmo usarlo per risolvere il problema di arresto con input , con il seguente algoritmo: $x,M$

Alternate tra esecuzione della macchina per passi su , e l'enumerazione il ° membro della . $M$ $n$ $x$ $n$ $L$

$M$ si ferma o non si ferma su . Se si ferma, alla fine troveremo un dove raggiungeremo uno stato di arresto. Se non si ferma, alla fine raggiungeremo nella nostra enumerazione. $x$ $n$ $(M,x)$

Quindi abbiamo una riduzione e possiamo concludere che non esiste una tale enumerazione.

Si noti che tali enumerazioni possono esistere per problemi semi-decidibili. Ad esempio, è possibile enumerare l'insieme di tutte le coppie input-macchina in arresto enumerando tutte le possibili tracce di tutte le esecuzioni di Turing Machine dopo passaggi e filtrare quelle che non terminano in uno stato di arresto. $n$

— jmite
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Non ci sono lingue con innumerevoli complessità?

— rus9384,

@ rus9384 Non sono sicuro di cosa intendi. "Uncountable" è una misura della dimensione; la "complessità" è una misura di quanto sia difficile decidere. Ma non ci sono lingue innumerevoli di stringhe finite: se vuoi che una lingua non sia numerabile, devi consentire stringhe infinite (o un "alfabeto" non numerabile, o entrambi).

— David Richerby,

@DavidRicherby, beh, jmite afferma che ogni problema indecidibile opera con stringhe finite? Penso che valga solo per ogni problema indecidibile riconoscibile da Turing .

— rus9384,

@ rus9384 Qualsiasi lingua su un alfabeto finito è numerabile e la calcolabilità di solito ignora infiniti alfabeti. Vedi anche questa domanda .

— jmite,

@ rus9384 sì, una lingua è un insieme di stringhe finite sopra un alfabeto finito. Qualsiasi cosa del genere è numerabile. Se si desidera ottenere un linguaggio non numerabile, è necessario rimuovere una o entrambe le istanze di "finito" da tale definizione. Ma se qualcuno dice semplicemente "linguaggio", significa un insieme di stringhe finite sopra un alfabeto finito.

— David Richerby,

Nella teoria della computabilità abbiamo a che fare con sottoinsiemi di , dove . Questa lingua è numerabilmente infinita, e quindi qualsiasi sottoinsieme è numerabile. Inoltre, ci sono molte lingue indecidibili ma ricorsivamente enumerabili i cui complementi non sono ricorsivamente enumerabili. Queste lingue sono un sottoinsieme di e quindi sono numerabili. $\Sigma^*$ $\Sigma = \{0,1\}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $\Sigma^*$

— fade2black
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Non ci occupiamo necessariamente di stringhe binarie. Ci sono molti casi in cui potremmo essere interessati a stringhe su altri alfabeti e le persone che chiamano la "teoria della ricorsione" della computabilità tendono a trattare direttamente con insiemi di numeri naturali. (Cioè, i numeri stessi sono visti come primitivi e non codificati come, ad esempio, stringhe binarie.)

— David Richerby,

@DavidRicherby un paio di settimane fa mi hai affermato il contrario nei commenti alla risposta di Yuvals. E questo non è il primo caso simile.

— fade2black,

Yuval pubblica molte risposte e io inserisco molti commenti, quindi dovresti essere più specifico. Sicuramente sostengo il mio commento sopra, quindi se ho detto il contrario ad un certo punto, allora o ero sbagliato o confuso o mi hai frainteso o stavo parlando di uno scenario specifico o qualcosa del genere. Mi dispiace se ti ho confuso, soprattutto se l'ho fatto dicendo qualcosa di poco chiaro o errato!

— David Richerby,

@DavidRicherby, in effetti ogni alfabeto finito può essere ridotto a binario, quindi non capisco come sia importante. O abbiamo un alfabeto numerabile infinito in questo caso (dove ogni numero ha un simbolo univoco)?

— rus9384,

{0, 1}

$\{0,1\}$