Trova un polinomio in due o tre query

La casella nera di significa che posso valutare il polinomio in qualsiasi momento. $f(x)$ $f(x)$

Input : una scatola nera di polinomio monico di grado . $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
Output: i coefficienti del polinomio . $d$ $f(x)$

Il mio algoritmo: let

f (X) = X^{d} + {un'}_{d - 1} X^{d - 1} + \dots + {un'}_{1} X + {un'}_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Valutare polinomio a molti punti con la scatola nera e ottenere un sistema di equazioni lineari. Ora posso risolvere il sistema di equazioni lineari per ottenere i coefficienti desiderati. $\mathcal{f(x)}$ $d$

Tuttavia, in questo caso, ho bisogno di molte query nella casella nera. Voglio ridurre al minimo il numero di query . C'è un modo per ridurre il numero di query a solo due o tre? $\mathcal{O(d)}$

algorithms polynomials

— Complessità
fonte

Continui a cambiare la domanda. Forse dovresti prima decidere sulla tua domanda e solo allora farla. Altrimenti può essere alquanto frustrante per chi risponde.

— Yuval Filmus,

Cosa significa

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5,

serie di numeri interi positivi

— Complessità

A proposito del tuo algoritmo, i coefficienti possono essere calcolati in

invece di

con la formula chiusa di Lagrange.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5,

Esatta stessa domanda, formulata diversamente: math.stackexchange.com/questions/446130/…

— Nayuki

È possibile determinare il polinomio utilizzando due query. Per prima cosa interroga il polinomio su per ottenere un limite superiore sul valore dei coefficienti. Ora interroga il polinomio su di tua scelta e leggi i coefficienti dall'espansione base . $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

Curiosamente, se permetti che i coefficienti siano negativi, non puoi fare meglio di query. Anzi, posso sempre rispondere alla tua query per zero, e questo non risolve il valore del polinomio dal momento che tutti i polinomi della forma sono coerenti con le mie risposte. $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— Yuval Filmus
fonte

Per i negativi penso che il tipo di trucco del complemento di 2 possa funzionare.

— Complessità

Non senza un limite superiore sull'entità dei coefficienti. Questo è ciò che dimostra la mia prova.

— Yuval Filmus,

Mi dispiace non ho avuto questa parte "posso sempre rispondere alla tua

query

per zero"

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

— Complessità

Questo è un argomento avverso. Il tuo algoritmo richiede alla scatola nera il valore di

posti e risponde sempre a zero. Dimostro che questo non ti basta per dedurre il valore di

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$

— Yuval Filmus,