Tesi di Church-Turing e potere computazionale delle reti neurali

La tesi di Church-Turing afferma che tutto ciò che può essere calcolato fisicamente, può essere calcolato su una macchina di Turing. L'articolo "Calcolo analogico tramite reti neurali" (Siegelmannn e Sontag, Theoretical Computer Science , 131: 331–360, 1994; PDF ) afferma che una rete neurale di una determinata forma (le impostazioni sono presentate nel documento) è più potente. Gli autori affermano che, in tempi esponenziali, il loro modello è in grado di riconoscere linguaggi che sono imputabili nel modello della macchina di Turing.

Ciò non contraddice la tesi di Church-Turing?

No, è ancora coerente con la tesi di Church-Turing, il loro modello è dotato di numeri reali reali (come negli elementi arbitrari di ), che praticamente estende immediatamente il potere oltre quello di una macchina di Turing. In effetti, il titolo di 1.2.2 è "Il significato del peso reale (non calcolabile)", in cui discutono del perché il loro modello è costruito per includere componenti non calcolabili.$\mathbb{R}$

Esistono infatti molti modelli di calcolo che superano la potenza delle macchine di Turing (qv Hypercomputation ). Il trucco è che nessuno di questi è apparentemente in grado di essere costruito nel mondo reale (ma forse nel mondo - scusa, non ho potuto resistere).$\mathbb{R}$

Per espandere un po ' la risposta di Luke , costruire fisicamente una rete neurale per risolvere qualsiasi linguaggio richiede la produzione di componenti elettronici con resistenze infinitamente precise e così via. Questo non è possibile, in diversi modi:

1. Non è possibile produrre un resistore esattamente di .$\mathrm{2\,\Omega}$

2. La resistenza cambia con la temperatura e la corrente che fluisce attraverso la resistenza cambierà la sua temperatura.

3. Anche supponendo di conoscere un ingegnere / stregone elettronico in grado di produrre resistori per qualsiasi valore esatto tu scelga e che non cambi la resistenza con la temperatura, la configurazione della tua macchina per decidere un linguaggio insopportabile richiederà valori di resistenza insopportabili. Quindi non puoi assolutamente dire al tuo ingegnere / stregone elettronico quale valore di resistenza hai bisogno.

Quindi, sebbene, in linea di principio, queste macchine possano decidere qualsiasi lingua, non violano Church-Turing perché non possono essere costruite fisicamente.

Potresti voler impegnarti in alcune regole legali e affermare che qualcuno potrebbe consegnarti una di queste macchine e dire: "Ehi, guarda, questa macchina ha esattamente i giusti valori di resistenza per risolvere il problema di arresto!" Tuttavia, non hanno modo di provare questa affermazione, dal momento che non possono misurare i componenti con precisione infinita, quindi il meglio che possono rivendicare con giustificazione è "Ho provato questo su un set finito di input e ha correttamente deciso il problema di arresto su quegli input ". Bene, qualsiasi sottoinsieme finito del problema di arresto è già decidibile di Turing, quindi non è niente di eccitante.