Vedo molti problemi algoritmici che riducono sempre a qualcosa le linee di:

Hai un array intero $h[1..n]\geq 0$ , devi trovare $i,j$ tale che massimizzi $(h[j]-h[i])(j-i)$ nel tempo $O(n)$ .

Ovviamente la soluzione temporale $O(n^2)$ è quella di considerare tutte le coppie, tuttavia, esiste un modo per massimizzare l'espressione in $O(n)$ senza sapere qualcos'altro sulle proprietà di $h$ ?

Un'idea a cui ho pensato è di correggere $j$ , quindi dobbiamo trovare $i^*$ da $1$ a $j-1$ che è uguale a $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ o $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ e poiché $j$ è corretto, allora abbiamo bisogno di $\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$ .

Tuttavia, non vedo alcun modo per sbarazzarsi dei termini $j$ dipendenti all'interno. Qualsiasi aiuto?

algorithms algorithm-analysis optimization

— AspiringMat
fonte

Una soluzione

sarà utile?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— xskxzr,

@xskxzr sicuro se ne hai

— AspiringMat

Questa è una soluzione . Una soluzione indicata da Willard Zhan è allegata all'ultima di questa risposta. $O(n\log n)$ $O(n)$

soluzione $O(n\log n)$

Per comodità, denota . $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$

Definisco , e essere il più piccolo indice tale che e . Allo stesso modo, definisci , e è l'indice più grande tale che e $l_1=1$ $l_i$ $l_i>l_{i-1}$ $h[l_i]<h[l_{i-1}]$ $r_1=n$ $r_i$ $r_i<r_{i-1}$ . Le sequenzee sono facili da calcolare in tempo. $h[r_i]>h[r_{i-1}]$ $l_1,l_2,...$ $r_1,r_2,\ldots$ $O(n)$

Il caso in cui non ci sono tale che (cioè ) è banale. Ci concentriamo ora su casi non banali. In tali casi, per trovare la soluzione, dobbiamo solo considerare tali coppie. $i<j$ $h[i]< h[j]$ $f(i,j)>0$

Per ogni tale che , sia l'indice più grande tale che , e sia l'indice più piccolo tale che , quindi (altrimenti per definizione di $i<j$ $h[i]<h[j]$ $u$ $l_u\le i$ $v$ $r_v\ge j$ $h[l_u]\le h[i]$ $l_{u+1}\le i$ $l_{u+1}$ , quindi in contraddizione con la definizione di ), e similmente . Quindi $u$ $h[r_v]\ge h[j]$ Questo significa che dobbiamo considerare solo le coppie dove .

(h [r_{v}] - h [l_{u}]) (r_{v} - l_{u}) \geq (h [j] - h [i]) (r_{v} - l_{u}) \geq (h [j] - h [i]) (j - i) .

$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$

(l_{u}, r_{v})

$(l_u,r_v)$

l_{u} < r_{v}

$l_u<r_v$

Indica , abbiamo il seguente lemma. $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

Una coppia cui , e dove esiste tale che e o tale che e , non può essere una soluzione ottimale finale. $(l_u,r_v)$ $l_u<r_v$ $u_0$ $u<u_0$ $v<v(u_0)$ $u>u_0$ $v>v(u_0)$

Prova. Secondo la definizione di, abbiamo o $v(u_0)$
$(h [r_{v (u_{0})}] - h [l_{u_{0}}]) (r_{v (u_{0})} - l_{u_{0}}) \geq (h [r_{v}] - h [l_{u_{0}}]) (r_{v} - l_{u_{0}}),$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$ $(h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u_{0}} + h [l_{u_{0}}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) + h [r_{v (u_{0})}] r_{v (u_{0})} - h [r_{v}] r_{v (u_{0})} \geq 0.$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$
Nel caso in cui e , notare e , e anche e , abbiamo $u<u_0$ $v<v(u_0)$ $h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$ $r_v-r_{v(u_0)}>0$ $l_u<l_{u_0}$ $h[l_u]>h[l_{u_0}]$
$\begin{aligned} (h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u} + h [l_{u}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) \\ > & (h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u_{0}} + h [l_{u_{0}}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) . \end{aligned}$ $\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$
Questo significa o
$(h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u} + h [l_{u}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) + h [r_{v (u_{0})}] r_{v (u_{0})} - h [r_{v}] r_{v (u_{0})} > 0,$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$ $(h [r_{v (u_{0})}] - h [l_{u}]) (r_{v (u_{0})} - l_{u}) > (h [r_{v}] - h [l_{u}]) (r_{v} - l_{u}) .$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$
Quindi è una soluzione strettamente migliore di . La prova per l'altro caso è simile. $(l_u,r_{v(u_0)})$ $(l_u,r_v)$ $\blacksquare$

Possiamo calcolare primo luogo dove è la lunghezza della sequenza , quindi calcolare ricorsivamente la soluzione ottimale tra 's per e e la soluzione ottimale tra 's per e . A causa del lemma, la soluzione ottimale globale deve provenire da . $v(\ell/2)$ $\ell$ $l_1,l_2,\ldots$ $o_1$ $(l_u,r_v)$ $u=1,\ldots,\ell/2-1$ $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$ $o_2$ $(l_u,r_v)$ $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ $v=1,\dots,v(\ell/2)$ $\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

$O(n)$ Soluzione

Sia se . La dimostrazione del lemma mostra anche una proprietà importante: per e , if , quindi . Ciò significa che la matrice è una matrice totalmente monotona in cui è la lunghezza della sequenza (quindi indica l' elemento -esimo dalla fine), quindi l'algoritmo SMAWK può essere applicato per trovare il valore minimo di , quindi il valore massimo di . $f(l_u,r_v)=-\infty$ $l_u\ge r_v$ $u>u_0$ $v>v_0$ $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$ $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$ $M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ $c$ $r_1,r_2,\ldots$ $r_{c-y+1}$ $y$ $M$ $f$

— xskxzr
fonte

Quello che hai dimostrato è che è una matrice monotona, quindi dividi e conquista fornisce un algoritmo . Ma potresti effettivamente dimostrare che è Monge , in modo che l' algoritmo SMAWK possa essere applicato.

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$

O (n)

$O(n)$

— Willard Zhan,

Come massimizzare

soluzioneO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)

O(n)O(n)O(n) Soluzione

soluzione $O(n\log n)$

$O(n)$ Soluzione