Come calcolare in modo efficiente il punto più isolato?

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Dato un insieme finito di punti in , come possiamo calcolare in modo efficiente un "punto più isolato" ? $S$ $\mathbb R^d$ $x\in S$

Definiamo un "punto più isolato" di $x$

x = \arg max_{p \in S} min_{q \in S ∖ {p}} d (p, q)

$x = \arg\max_{p \in S} \min_{q \in S \setminus \{p\}} d(p,q)$

(Ho usato la notazione $x=\arg\min$ anche se non è necessariamente unica. Qui $d$ indica la distanza euclidea. Quindi, in altre parole, stiamo cercando un punto con la distanza maggiore dal vicino più vicino.

Un algoritmo ingenuo calcolerebbe tutte le distanze a coppie, trovando il vicino con la minima distanza per ogni punto e quindi trovando il massimo di questi. Questo richiede operazioni $O(n^2)$ , ma possiamo fare di meglio?

— flawr
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Suggerisco di guardare le strutture dati per la ricerca del vicino più vicino . Sospetto che possano essere adattati per aiutare a risolvere questo problema in modo più efficiente rispetto al metodo ingenuo.

— DW

@DW Grazie per la raccomandazione. Ho provato a cercare alberi kd, ma non ho trovato un modo più efficiente per risolvere questo problema.

— flawr

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Utilizzare qualsiasi algoritmo per tutti i vicini più vicini ; allora puoi risolvere banalmente il tuo problema. Un tale algoritmo trova, per ciascun punto dati, il suo vicino più vicino. Il punto più isolato è quello il cui vicino più vicino è più lontano, quindi una volta risolti tutti i vicini più vicini, puoi trovare il punto più isolato con una semplice scansione lineare.

Apparentemente tutti i vicini più vicini possono essere trovati in tempo; vedi i riferimenti su Wikipedia. Oppure, se si desidera implementare qualcosa, prendere qualsiasi struttura di dati per i vicini più vicini e, per ogni punto , trovare il vicino più vicino. $O(n \log n)$ $p$

— DW
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Come suggerito nei commenti, vorrei esaminare le domande sui vicini più vicini.

Fare una query NN per punto dovrebbe essere nell'ordine di quindi è già meglio della soluzione ingenua. $O(n* log (n))$

Puoi migliorarlo ulteriormente aggiungendo un parametro alla query NN che contiene la distanza più vicina del punto più isolato che hai trovato finora. È quindi possibile interrompere qualsiasi query NN non appena trova un punto più vicino di . Questo dovrebbe accelerare un po 'la tua ricerca. $d_{max}$ $d_{max}$

A proposito, le persone spesso suggeriscono KD-Trees per NN-Search. Gli alberi KD sono molto facili da implementare ma nella mia esperienza costantemente ridimensionano meno bene con dimensioni più elevate rispetto ad altri alberi. Per o giù di lì, consiglierei di usare un R-Tree, come R * Tree (R-Star-Tree), X-Tree o R-Tree caricato con STR, o un PH-Tree (che è più simile a un bitree quadtree). $d > 10$

— TilmannZ
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