Cosa conta come operazione?

Mi scuso per la domanda da principiante, ma sono un po 'confuso su ciò che conta esattamente come una "operazione semplice" quando si calcola la complessità temporale di un algoritmo. In particolare, perché consideriamo tutte le operazioni uguali?

Sicuramente, la divisione di due numeri molto grandi richiede più tempo rispetto all'aggiunta di uno a un numero (come in ogni iterazione di un ciclo for). La moltiplicazione, ad esempio, può consistere in un numero qualsiasi di piccole aggiunte. Quindi, invece di aggiungerli semplicemente, non dovremmo applicare un tipo di peso a ciascuna operazione a seconda del tipo di operazione (addizione, moltiplicazione, ecc.) E delle dimensioni dei numeri coinvolti?

Il mio problema è che mi viene chiesto di dimostrare che la complessità del mio algoritmo è$O(f)$ (per alcune funzioni $f$) e non sono sicuro di come farlo in modo matematicamente rigoroso a causa della vaghezza intrinseca nella definizione di "semplice operazione". Quindi come potrei procedere?

Le operazioni semplici sono tutto ciò che richiede tempo costante per raggiungere. La confusione è che la divisione non sembra richiedere tempo costante, e in effetti, in generale, non lo fa. MA!

La divisione e l'addizione richiedono entrambe un tempo costante se, per esempio, si sommano due numeri interi a 32 bit, che di solito è come va. Tuttavia, se stai aggiungendo numeri arbitrariamente grandi, non saranno realmente a tempo costante, anche se a volte penso che la gente lo tratterà come se fosse perché si presume che i numeri non diventino molto grandi.