Una funzione calcolabile può convergere in un numero non calcolabile?

Esiste una funzione calcolabile $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$ tale che:

• Per tutte $t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

Dove è un numero reale indiscutibile.$X$

L'unico riferimento a questa domanda che ho trovato è stata la risposta a questa domanda : /math//a/1052579/168764 , dove la funzione sembra che sarebbe valida, ma non ho idea di come dimostrarlo il limite di questa funzione è un numero reale indiscutibile.

Considera la codifica numerica reale del problema (quasi) di arresto, ovvero dove se l'i-esima macchina di Turing (relativa all'ordinamento lessicografico) si ferma sull'input vuoto, e altrimenti . Indichiamo questo numero per .r i = 1 r i = 0 $0.r_1r_2...$$r_i=1$$r_i=0$$R$

Ora, considera la macchina che sull'ingresso simula tutte le macchine di Turing di lunghezza sull'input vuoto per passaggi e restituisce dove se l' th th machine si ferma sull'input vuoto in meno di passaggi e altrimenti. Chiaramente per tutti vale che , e non è troppo difficile da dimostrare che converge a . Il punto chiave è che il tasso di convergenza non è calcolabile, nel senso che dato$M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$, Non è possibile calcolare l'indice in modo tale che al di là della serie è -Vicino alla .$\epsilon$$R$