Turing machine + time dilation = risolve il problema di arresto?

Esistono tempi spaziali relativistici (es. Tempi spaziali MH; vedi Hogarth 1994) in cui una linea mondiale di durata infinita può essere contenuta nel passato di un osservatore finito. Ciò significa che un osservatore normale può avere accesso a un numero infinito di passaggi di calcolo.

Supponendo che un computer possa funzionare perfettamente per un periodo di tempo infinito (e so che è una grande domanda): si potrebbe costruire un computer HM che viaggia lungo questa infinita linea mondiale, calcolando il problema di arresto per un dato M. Se M si ferma , HM invia un segnale all'osservatore finito. Se dopo un numero infinito di passi l'osservatore non riceve alcun segnale, l'osservatore sa che M si muove, risolvendo il problema di arresto.

Finora, questo suona bene per me. La mia domanda è: se ciò che ho detto finora è corretto, in che modo questo altera la prova di Turing che il problema dell'arresto è indecidibile? Perché la sua prova fallisce in questi tempi ?

Nota che la dimostrazione di Turing è di matematica, non di fisica. All'interno del modello di una macchina di Turing definita da Turing, l'indecidibilità del problema di arresto è stata dimostrata ed è un fatto matematico. Quindi, la prova di Turing non "fallirà" nelle ore spaziali, semplicemente non dimostrerà nulla sulla relazione tra il problema di arresto e la dilatazione del tempo.

Tuttavia, ciò che probabilmente vorrai sapere è se una "macchina di Turing di dilatazione del tempo" può risolvere il problema di arresto.

Se vuoi studiare questa influenza della "dilatazione del tempo" su una macchina di Turing, dovrai specificare un modello formale attraverso il quale possiamo formalmente capire cosa significa per una macchina di Turing fare uso della dilatazione del tempo. Sfortunatamente, questo formato non è adatto a fornire un modello così formale (a meno che qualcun altro non abbia scritto un articolo al riguardo) in quanto la creazione del modello è troppo ampia.

Tuttavia, non è improbabile che una certa formalizzazione sia effettivamente in grado di risolvere il problema dell'arresto. Questo articolo di Scott Aaronson, Mohammad Bavarian e Giulio Gueltrini prende in esame i modelli computazionali partendo dal presupposto che esistano i cosiddetti cicli a tempo chiuso e concludono che il problema dell'arresto è effettivamente calcolabile all'interno di quel modello.

La macchina di Turing è un modello matematico formale di calcolo, non risponde ad alcuna limitazione fisica e non si preoccupa degli effetti relativistici. Ciò significa che la prova di Turing non fallisce, poiché la definizione standard di macchina di Turing non contiene nemmeno una nozione di "spaziotempo".

Quello che puoi provare a fare è definire un diverso modello di calcolo ispirato alla relatività. Ancora una volta, questo sarà solo un oggetto formale e la questione se può o meno risolvere il problema di arresto appartiene al regno della matematica e dipende dalla tua definizione specifica. Tuttavia, la vera domanda ora è se questo nuovo modello effettivamente cattura correttamente gli effetti relativistici, cioè riflette davvero la nostra fisica e può essere implementato nel nostro mondo?

Puoi vedere una discussione del genere riguardo al calcolo quantistico. Abbiamo una definizione formale di "macchine quantistiche di Turing" e il loro esatto potere computazionale rimane un problema aperto in matematica (anche se non vicino al problema dell'arresto). Tuttavia, puoi sostenere che questa definizione non riflette realmente la nostra comprensione della fisica quantistica e ne è necessaria una migliore. Ci sono argomenti che suggeriscono che tali macchine non possono nemmeno essere costruite, quindi il loro esatto potere non ha alcun effetto sulla tesi (forte) di Church-Turing.

Torna alla tua domanda. Esiste la nozione formale di una macchina di Turing a tempo infinito , ma per avere un effetto sulla tesi di Church-Turing è necessario che esista nella pratica. Potresti essere interessato al documento di Scott , che contiene una sezione sui calcoli che utilizzano effetti relativistici, anche se sembra che gli argomenti ingenui siano senza speranza (nel senso che sono poco pratici, poiché il costo del tempo è sostituito dal costo dell'energia).

La prova di Turing mostra che nessuna macchina Turing è in grado di risolvere il problema di Halting, indipendentemente da quanto tempo dedichi. Se la tua astronave utilizzava la dilatazione del tempo per dare al computer un miliardo di anni di lavoro, potrebbe non essere in grado di dirti nulla di più definito di "Non ancora".

Apparentemente, (Grazie, @DiscreteLizard!) Se hai viaggi nel tempo che non possono causare paradossi, potresti impostare un ciclo temporale che causerebbe un paradosso se il computer non è in grado di provare se la macchina di Turing si ferma. O riceve la risposta dal futuro e la trasmette a se stessa, oppure corre per sempre (e, abilmente, restituisce una sovrapposizione quantistica che si risolve in un ciclo temporale stabile). Ma, prima di provare questo, assicurati che sia sicuro causare un paradosso nel viaggio nel tempo.

Un'obiezione è che hai definito un processo che può produrre entropia infinita in una regione compatta e che sembra farlo in un segmento finito del passato dell'osservatore. Questo significa alcune cose

• L'entropia computazionale nella regione compatta supera il Bekensteinlegato all'entropia (il cui limite è proporzionale alla superficie della regione), quindi collassa in un buco nero (istantaneamente) e nessun segnale potrà mai raggiungerti dal suo interno. (La metrica di Kerr descrive uno spaziotempo MH. Si osserva che il processo infinito si completa solo quando l'osservatore passa nell'orizzonte degli eventi interni. Trascurando l'attuale incertezza sulla fisica di tale passaggio, nessun osservatore remoto ha mai accesso al risultato del calcolo - il risultato è solo l'osservatore che è scomparso nel buco nero. Questa non è una descrizione di un utile processo computazionale. Per parafrasare: "Abbiamo un oracolo che produce la risposta corretta a qualsiasi domanda che poni in tempo costante in tali un modo in cui la risposta esiste solo nel momento in cui viene distrutta gettandola in un buco nero. ")
• Una macchina di Turing distrugge le informazioni ogni volta che sovrascrive un simbolo su un nastro, quindi secondo il principio di Landauer , un calcolo finito su una linea del mondo infinito compresso in un segmento finito nel cono di luce dell'osservazione passato deve essere osservato per richiedere potenza infinita ed emettere calore infinito durante il tempo infinitesimale che si osserva per funzionare. Cioè, poiché una sosta viene raggiunta a tempo finito, viene raggiunta istantaneamente dal punto di vista dell'osservatore esterno, quindi tutta la potenza viene consumata all'istante e tutto il calore si evolve all'istante. In alternativa, se il calcolo non si interrompe, la regione compatta consuma continuamente potenza infinita ed emette calore infinito. Risultato netto: un buco nero, di nuovo.
• In alternativa, il principio di Landauer non si applica alla computazione reversibile e ci sono ( universali ) macchine di Turing reversibili . Tuttavia, una tale macchina di Turing richiede la capacità di rappresentare l'intero spazio di potenziali stati computazionali, che è esponenziale nella dimensione della quantità di nastro utilizzata, quindi corre rapidamente nel limite di Bekenstein. Finiamo per essere in grado di evitare il problema del calore solo limitando i nastri di lunghezza limitata. Equivalentemente, abbiamo un limite superiore sulla lunghezza utilizzabile del nastro controllata dalla superficie della regione che ha una linea mondiale infinita. Se non tieni conto di questo e il tuo calcolo usa troppo nastro, otterrai di nuovo un buco nero.

È una domanda aperta interessante se e come questi vincoli si applicano ai computer quantistici. Può darsi che la complessità di un calcolo eseguibile da un computer quantistico sia limitata dalla superficie del computer. Quindi potremmo dover raddoppiare la superficie di un computer quantistico estremo per ottenere un qubit di calcolo più utilizzabile. Ciò porta rapidamente a computer di dimensioni impraticabili.

Citazione di Bangs, Crunches, Whimpers e Shrieks:

$\pi$

$(\exists x_1)(\exists x_2)\dots(\exists x_n)F(x_l,x_2,\dots,x_n)$$\gamma_1$$n$$\gamma_1$da questi lavori deriva una conoscenza del valore di verità dell'asserzione. Ma non appena vengono coinvolti quantificatori misti, il metodo fallisce. Tuttavia, Hogarth (1994) ha dimostrato come, in linea di principio, si possano usare disposizioni più complicate in spazi spaziali relativistici generali per verificare il valore di verità di qualsiasi affermazione aritmetica di arbitraria complessità quantitativa. In un tale spaziotempo è difficile capire come mantenere l'atteggiamento di non avere una chiara nozione di verità nell'aritmetica.