Che tipo di problemi matematici possono essere risolti dai dimostratori di teoremi automatizzati?

Posso provare le seguenti affermazioni usando i tester teorema automatizzato disponibili?

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ .
Se , quindi . $11 \mid 2a-3b$ $11 \mid 7a-5b$
Se , allora . $ax^2+bx+c=0$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
Se è pari, è pari. $a$ $4a$

e così via!

Sto ponendo questa domanda perché ho appena trovato l'applicazione dei dimostratori di teoremi automatizzati nel dimostrare i teoremi nella logica.

automated-theorem-proving

— Math-fort
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Puoi certamente provare tutti questi (tranne forse 3, che è sbagliato come scritto) usando tutti gli assistenti di prova standard, anche se probabilmente non sarà automatico.

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus. Grazie! Quindi, che tipo di problemi possono essere risolti automaticamente?

— Forte matematico,

Puoi semplificare automaticamente le espressioni, sebbene si tratti di un servizio fornito da Computer Algebra Systems. Non credo che gli assistenti di prova moderni possano provare automaticamente qualsiasi sostanza, anche se è meglio chiedere agli esperti.

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Penso che ciò che dici sia spesso vero, nel senso che solo quando un metodo di prova automatizzato dà risultati interessanti, siamo disposti a chiamarlo parte di un CAS ...

— Lucertola discreta

"(a + b) ^ 2 == a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab" su WolframAlpha

— Nat

La maggior parte delle tue affermazioni sono algebra elementare, quindi possono essere provate automaticamente da un sistema di algebra del computer (CAS), come Maple o Mathematica.

(Nel caso in cui tu sia interessato alla matematica dietro CAS, posso consigliare il libro Modern Computer Algebra di Joachim von zur Gathen e Jürgen Gerhard, un bellissimo libro, considerato la 'bibbia' del campo)

La dimostrazione del teorema automatizzato tende ad essere principalmente un caso di ricerca euristica su una struttura che rappresenta prove, se la prova non è uno dei pochi casi per i quali esiste un algoritmo che può risolverlo definitivamente. Dato che queste affermazioni non sono molto complicate, è probabile che un prover automatizzato sia in grado di "trovare" una prova.

Tuttavia, penso che sia interessante dire qualcosa in più sulle affermazioni per le quali esistono simpatici algoritmi:

L'istruzione 3 è (un caso molto semplice di) sulle radici di un (sistema di) equazioni polinomiali e può essere risolta trovando una base di Gröbner con l'algoritmo di Buchberger. La base di Gröbner e l'algoritmo di Buchberger per trovarne uno sono strumenti molto utili per dimostrare il teorema automatizzato. Ad esempio, possiamo persino provare automaticamente i teoremi elementari in geometria trasformando automaticamente il problema in modo intelligente per trovare una radice di un'equazione polinomiale!

Un'altra interessante classe di teoremi sono le dichiarazioni espressibili nell'aritmetica di Presburger senza quantificatori (in particolare, questa aritmetica è senza moltiplicazioni, quindi questo non si applica alle tue dichiarazioni), poiché esiste un algoritmo per risolvere tutte queste affermazioni, anche se l'algoritmo è un po 'lento.

— Lucertola discreta
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