Qual è esattamente la differenza semantica tra categoria e set?

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In questa domanda, ho chiesto quale sia la differenza tra set e type . Queste risposte sono state molto chiare (ad esempio @AndrejBauer), quindi nella mia sete di conoscenza, mi sottopongo alla tentazione di chiedere lo stesso riguardo alle categorie:

Ogni volta che leggo della teoria delle categorie (che certamente è piuttosto informale), non riesco davvero a capire come differisce concretamente dalla teoria degli insiemi .

Quindi, nel modo più concreto modo possibile, che cosa esattamente vuol implica circa $x$ per dire che è nella categoria , rispetto a dire che ? (es. qual è la differenza tra dire è un gruppo, invece di dire che è nella categoria ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Puoi scegliere qualsiasi categoria e set che renda il confronto più chiaro).

sets category-theory

— user56834
fonte

Non sono sicuro che questa domanda sia ben formata. Per prima cosa chiedi qual è la differenza tra dire che "x è in una categoria C" vs "x è in una serie S". Ma poi dai l'esempio di chiedere "x è nella categoria Grp" vs "x è un gruppo". Che cosa? Questo non è un esempio della tua domanda. Un esempio della tua domanda è chiederti quale sia la differenza tra "x è nella categoria Grp" e "x è nell'insieme di tutti i gruppi". Ma anche allora non è proprio quello che stai chiedendo se stai chiedendo quali sono le differenze tra categorie e set.

— Miglia rotta

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In breve, la teoria degli insiemi riguarda l'appartenenza mentre la teoria delle categorie riguarda le trasformazioni che preservano la struttura.

La teoria degli insiemi riguarda solo l'appartenenza (ovvero essere un elemento) e ciò che può essere espresso in termini di ciò (ad esempio essere un sottoinsieme). Non si occupa di altre proprietà di elementi o insiemi.

La teoria delle categorie è un modo per parlare di come le strutture matematiche di un dato tipo ¹ possono essere trasformate l'una nell'altra ² da funzioni che preservano alcuni aspetti della loro struttura; fornisce un linguaggio uniforme per parlare di una vasta gamma di tipi ¹ di struttura matematica (gruppi, automi, spazi vettoriali, insiemi, spazi topologici, ... e persino categorie!) e le mappature all'interno di quei tipi ¹ . Sebbene formalizzi le proprietà delle mappature tra strutture (in realtà: tra gli insiemi su cui è imposta la struttura), si occupa solo di proprietà astratte di mappe e strutture, chiamandole morfismi (o frecce ) e oggetti; gli elementi di tali insiemi strutturati non riguardano la teoria delle categorie, né le strutture di tali insiemi. Chiedete " cos'è una teoria di "; è una teoria delle mappature che preservano la struttura di oggetti matematici di tipo arbitrario ¹ .

La teoria delle categorie astratte ³ , tuttavia, come appena detto, ignora totalmente gli insiemi, le operazioni, le relazioni e gli assiomi che specificano la struttura degli oggetti in questione e fornisce solo un linguaggio in cui parlare di come i mapping che conservano una tale struttura comportarsi: senza sapere quale struttura è preservata, sappiamo che la combinazione di due di queste mappe preserva anche la struttura. Per tale motivo, gli assiomi della teoria delle categorie richiedono che esista una legge di composizione associativa sui morfismi e, allo stesso modo, che vi sia un'identità morfismo da ciascun oggetto a se stesso. Ma non assume che i morfismi siano effettivamente funzioni tra insiemi, solo che si comportano come loro.

Da elaborare: le categorie concrete modellano l'idea di aggiungere struttura agli oggetti di una "categoria base"; quando questo è possiamo avere la situazione in cui si aggiunge la struttura come un'operazione di gruppo a un set. In questo caso si potrebbe avere altro da dire su come viene aggiunta la struttura in termini di specifica categoria di base. $\mathsf{Set}$

Per quanto riguarda la implicazioni delle tue formulazioni , dicendo che " è un gruppo", che " è un elemento dell'insieme di gruppi" (in realtà una classe propria ) o che " è (un oggetto) in " ( o un "oggetto ") significa logicamente la stessa cosa, ma parlare della categoria suggerisce che sei interessato agli omomorfismi di gruppo (i morfismi in ) e forse a ciò che hanno in comune con altri morfismi. D'altra parte, dicendo $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ è un gruppo che potrebbe suggerire di essere interessato alla struttura del gruppo (la sua operazione di moltiplicazione) stessa o forse a come il gruppo agisce su qualche altro oggetto matematico. Si sarebbe improbabile parlare di appartenente alla serie di gruppi, anche se si potrebbe facilmente scrivere per qualche particolare insieme dei gruppi a cui è interessato. $G$ $G ∈ S$ $S$

Guarda anche

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- In particolare /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Categorie astratte e concrete: la gioia dei gatti di Adámek, Herrlich e Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Qui e passim non mi riferisco al tipo nel senso della teoria dei tipi, ma piuttosto a un insieme di proprietà richieste agli oggetti / alle strutture matematiche, cioè a un insieme di assiomi che soddisfano. Normalmente descrivono il comportamento di alcune operazioni o relazioni sugli elementi degli insiemi considerati portanti la struttura, sebbene nel caso degli insiemi stessi ( ) non vi sia alcuna struttura oltre gli insiemi stessi. In ogni caso, come detto sopra, la teoria delle categorie ignora i dettagli di questa struttura. $\mathsf{Set}$}

² _{Forse dovrei dirmi in tutto o in parte l' uno dell'altro : si consente l'omomorfismo da (numeri interi) a (razionali) dato da $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Senza qualifica, " categoria " normalmente significa "categoria astratta", introdotta, per quanto posso vedere, nel 1945 e sviluppata negli anni '60, mentre le categorie concrete sembrano apparire negli anni '70.}

— PJTraill
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Non sono sicuro che fosse retorico, ma c'è sicuramente una classe adeguata di gruppi. Ad esempio, ogni set dà origine a un gruppo banale sul set singleton contenente quel set. Puoi anche produrre una classe adeguata di esempi non isomorfi.

— Derek Elkins lasciò SE

Grazie. Quando dici: "è una teoria delle mappature che preservano la struttura di oggetti matematici di tipo arbitrario ", intendi "tipo" nel senso della teoria dei tipi, o più informalmente?

— user56834

@ Programmer2134: Scusa se il tipo era confuso (mi sono meravigliato); Non intendo fare riferimento alla teoria dei tipi (di cui so poco), ma piuttosto intendevo oggetti / strutture matematiche con un certo insieme di proprietà (cioè soddisfacendo determinati assiomi) con oggetti / strutture matematiche di un determinato tipo .

— PJTraill

Questo chiarisce. Quindi anche la teoria delle categorie presuppone specificamente che esistano tali assiomi e che tutti questi oggetti soddisfino quegli assiomi, o è semplicemente un meta criterio che usiamo per definire le categorie (cioè meta alla struttura della teoria delle categorie)?

— user56834

@ Programmer2134: No, la teoria delle categorie ignora totalmente gli assiomi e fornisce semplicemente un linguaggio in cui parlare di mappature che conservano una tale struttura: sappiamo senza che struttura sia conservata, sappiamo che la combinazione di due di queste mappe preserva anche la struttura. Per tale motivo, gli assiomi della teoria delle categorie richiedono che esista una legge di composizione associativa sui morfismi e, analogamente, che ci sia un morfismo identitario da ciascun oggetto a se stesso. Ma non assume che i morfismi siano effettivamente funzioni tra insiemi, solo che si comportano come loro.

— PJTraill

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La teoria delle categorie è in un certo senso una generalizzazione della teoria degli insiemi: la categoria potrebbe essere la categoria di insiemi o potrebbe essere qualcos'altro. Quindi, impari di meno se impari che è un oggetto in una categoria non specificata che se impari che è un insieme (poiché in quest'ultimo caso ne consegue che è un oggetto in particolare la categoria di insiemi). Se impari che è un oggetto in una particolare categoria specificata (diversa dalla categoria di insiemi), ciò che impari è diverso dall'imparare che è un insieme (cioè un oggetto nella categoria di insiemi); né implica l'altro. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

Non c'è alcuna differenza tra dire che è un gruppo e dire che è un oggetto nella categoria Grp. Queste due affermazioni sono equivalenti. $x$ $x$

Nota: non lo diciamo sia nella categoria Grp; diciamo che è unoggettonella categoria Grp. Una categoria ha sia oggetti che frecce. Devi specificare di cosa stai parlando. $x$ $x$

— DW
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Vorrei quindi confrontare le categorie con insiemi e tipi come ha fatto @AndrejBrauer nella sua risposta all'altra mia domanda. Un set formalizza la nozione di collezione di oggetti. Un tipo formalizza la nozione di costruzione di oggetti. Quale nozione formalizza la "Categoria"? Di quale processo / struttura matematica è una teoria di categoria una teoria ?

— user56834

"Quindi, impari di meno se impari che

è un oggetto in una categoria non specificata che se impari che

è un insieme ". Se si sostituisce "è un set" con "è un membro di un set non specificato", come cambierebbe tale affermazione? Imponiamo qualche restrizione su

dicendo che è un oggetto di una categoria non specificata? Sicuramente possiamo semplicemente formare una categoria in cui quella

è l'unico oggetto?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, questo è un buon punto. Ha senso. Accetto il tuo punto.

— DW

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Un ulteriore punto sulla spiegazione di DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Vorrei fare una dichiarazione più forte:

Un concetto è definito dalla sua categoria

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Una volta che lo hai, la categoria ti dà molte proprietà predefinite del concetto. Gli esempi vanno da

"quali esempi sono essenzialmente gli stessi --- isomorfismo",
"quale di queste due istanze è maggiore e quale è meno --- coppia sezione-retrazione",
"Quanti elementi di base ci sono all'interno di questa istanza? --- homset dall'oggetto terminale"

e così via.

Per quanto riguarda la domanda che poni in commento

Di quale processo / struttura matematica è una teoria di categoria una teoria?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
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Hmm. Non capisco esattamente come se conosciamo la categoria di una struttura, sappiamo tutto di quella struttura. Non sappiamo quali assiomi soddisfa la struttura?

— user56834

@ Programmer2134 Ripensare la teoria degli insiemi di Tom Leinster (che è una sintesi del lavoro di Lawvere) è un buon esempio. Il lavoro definisce la stessa teoria degli insiemi definendo le proprietà (dei morfismi) della categoria di insiemi (senza accedere a "dentro" qualsiasi oggetto per accedere a qualsiasi assunzione preesistente che potremmo avere sugli insiemi).

— Apiwat Chantawibul

Quindi stai dicendo che nessuna informazione è andata persa sulla teoria degli insiemi solo considerando la categoria degli insiemi, dimenticandone gli assiomi?

— user56834

@ Programmer2134 Sì, in effetti, è più simile agli assiomi che definiscono la teoria degli insiemi ZFC tradotti in proprietà puramente morfologiche. Quindi quella categoria, che affermiamo ha alcune proprietà sui morfismi, definisce la teoria degli insiemi.

— Apiwat Chantawibul,

Conosce un testo che spiega in modo chiaro questo punto sulla teoria delle categorie?

— user56834

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Imposta

X \in UN

$x\in A$

$f$

(X, y) \in f e (X, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Filosofia.I set hanno una struttura interna - sono completamente determinati dai loro elementi.

Osservazione. Un sistema assiomatico ampiamente utilizzato dai teorici dell'insieme è lo ZFC. Il suo punto di forza è la semplicità: ci sono solo set e una relazione di appartenenza. D'altra parte, molti matematici ritengono che ciò conduca a un concetto di set che differisce dalla loro comprensione e utilizzo degli set (confronta sotto Leinster ). In effetti la stragrande maggioranza dei matematici (tranne i teorici dell'insieme) sembra non usare gli assiomi ZFC. Tuttavia, i set non si riferiscono necessariamente a ZFC (vedi sotto categorie ed ETCS).

categorie

UN \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

X : 1 \to UN

$x:1\rightarrow A$

Filosofia. Gli oggetti di una categoria non hanno a priori nessuna struttura interna. Sono semplicemente caratterizzati dalle loro relazioni (morfismi) con altri oggetti.

Osservazione. Il concetto di base delle categorie è la funzione e questo coincide con l'uso degli insiemi da parte della stragrande maggioranza dei matematici. Pertanto potresti vedere le categorie come una generalizzazione concettuale del modo in cui (la maggior parte) matematici provenienti da campi molto diversi usano gli insiemi nel loro lavoro quotidiano. A parte le categorie (e le finalità) come generalizzazione, si può dare un'occhiata al sistema assiomatico ETCS che sta insiemi di assiomi (confrontare sotto Leinster e Lawvere ).

Domanda. Qual è la differenza tra dire x è un gruppo, rispetto a dire che x è nella categoria Grp?

$x$ $x$ .

$x$ $x$

critica

Nel caso di ZFC ed ETCS questi approcci possono essere tradotti l'uno nell'altro, sebbene ETCS sia più debole di ZFC ma (apparentemente) copre la maggior parte della matematica (vedi MathStackExchange e Leinster). In linea di principio (utilizzando un'estensione di ETCS) è possibile dimostrare gli stessi risultati con entrambi gli approcci. Quindi le filosofie sopra menzionate di entrambi i concetti non rivendicano una distinzione fondamentale in ciò che puoi esprimere o quali risultati puoi dimostrare.

Il set di espressioni e l' appartenenza a ZFC sono concetti astratti proprio come i concetti di categorie o di qualsiasi altro sistema assiomatico e possono significare qualsiasi cosa. Quindi, da questo punto di vista formale, affermare che ZFC si occupa della struttura interna degli insiemi mentre le categorie si occupano dell'esterno relazioni degli oggetti tra loro sembrano inadeguate. D'altra parte, questa sembra essere la filosofia o l'intuizione delle teorie riguardanti.

Tuttavia, in pratica, preferirai un certo approccio, ad esempio per motivi di chiarezza o semplicità o perché un concetto o una connessione con un'altra area si evolve in modo più naturale che altrove.

Riferimenti

Spivak. Teoria della categoria per gli scienziati

Leinster. Ripensare la teoria degli insiemi

Lawvere: una teoria elementare della categoria degli insiemi

Teoria di MathStackExchange.Category senza set

— FWE
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