Risolvere le ricorrenze tramite il polinomio caratteristico con radici immaginarie


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Nell'analisi dell'algoritmo devi spesso risolvere le ricorrenze. Oltre al Teorema del Maestro, metodi di sostituzione e iterazione, ce n'è uno che usa polinomi caratteristici .

Supponiamo di aver concluso che un polinomio caratteristico X2-2X+2 ha radici immaginarie , vale a dire X1=1+io e X2=1-io . Quindi non posso usare

c1x1n+c2x2n

per ottenere la soluzione, giusto? Come devo procedere in questo caso?


Benvenuto! Nota che puoi usare LaTeX da $...$.
Raffaello

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Sono confuso. Sono sicuro che intendi il metodo usando i polinomi caratteristici , non le equazioni. Che cos'è ? Le soluzioni dell'equazione che dai non sono immaginarie, ma semplicemente irrazionali. Cosa intendi con "applica il [polinomio]"? j
Raffaello

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Ha adottato l'abitudine del fisico di scrivere male . i
JeffE,

Certo, puoi davvero. Innanzitutto, la soluzione soddisfa il ripetersi. In secondo luogo, lo spazio della soluzione è di dimensione 2.
Strin

Risposte:


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Sì, la soluzione è in realtà per alcune costanti α e β determinate dai casi di base. Se i casi di basi sono reali, allora (per induzione) tutti i termini complessi in T ( n ) verranno annullati, per tutto il numero intero n .T(n)=α(1+io)n+β(1-io)nαβT(n)n

Ad esempio, considera la ricorrenza , con i casi base T ( 0 ) = 0 e T ( 1 ) = 2 . Il polinomio caratteristico di questa ricorrenza è x 2 - 2 x + 2 , quindi la soluzione è T ( n ) = α + iT(n)=2T(n-1)-2T(n-2)T(0)=0T(1)=2X2-2X+2 per alcune costanti α e β . Collegare i casi base ci dà T ( 0 ) = α ( 1 + i ) 0 + β ( 1 - i ) 0 = α + βT(n)=α(1+io)n+β(1-io)nαβ che implica α + β = 0

T(0)=α(1+io)0+β(1-io)0=α+β=0T(1)=α(1+io)1+β(1-io)1=(α+β)+(α-β)io=2
che implica α = - i e β = i . Quindi la soluzione è T ( n ) = i ( ( 1 - i ) n - ( 1 + i ) n ) .
α+β=0α-β=-2io
α=-ioβ=io
T(n)=io((1-io)n-(1+io)n).

Questa funzione oscilla tra e-2n-2nT(4n)=0n(1-io)4=(1+io)4=-4T(0)


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Mi sembra di ricordare che le radici immaginarie del polinomio caratteristico (che sono, se ricordo bene, le singolarità dominanti della funzione generatrice della sequenza) implicano elementi negativi da qualche parte. È vero? In tal caso, è sicuro di dire che non dovresti mai incontrare questo caso nell'analisi dell'algoritmo.
Raffaello

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21+io1-ioα2nα
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