Risolvere le ricorrenze tramite il polinomio caratteristico con radici immaginarie

Nell'analisi dell'algoritmo devi spesso risolvere le ricorrenze. Oltre al Teorema del Maestro, metodi di sostituzione e iterazione, ce n'è uno che usa polinomi caratteristici .

Supponiamo di aver concluso che un polinomio caratteristico $x^2 - 2x + 2$ ha radici immaginarie , vale a dire $x_1 = 1+i$ e $x_2 =1-i$ . Quindi non posso usare

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

per ottenere la soluzione, giusto? Come devo procedere in questo caso?

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— Koray
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Benvenuto! Nota che puoi usare LaTeX da $...$ .

— Raffaello

Sono confuso. Sono sicuro che intendi il metodo usando i polinomi caratteristici , non le equazioni. Che cos'è

? Le soluzioni dell'equazione che dai non sono immaginarie, ma semplicemente irrazionali. Cosa intendi con "applica il [polinomio]"?

j

$j$

— Raffaello

Ha adottato l'abitudine del fisico di scrivere male

i

$i$

— JeffE,

Certo, puoi davvero. Innanzitutto, la soluzione soddisfa il ripetersi. In secondo luogo, lo spazio della soluzione è di dimensione 2.

— Strin

Sì, la soluzione è in realtà per alcune costanti e determinate dai casi di base. Se i casi di basi sono reali, allora (per induzione) tutti i termini complessi in verranno annullati, per tutto il numero intero . $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ $T(n)$ $n$

Ad esempio, considera la ricorrenza , con i casi base e . Il polinomio caratteristico di questa ricorrenza è , quindi la soluzione è $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ $T(0)=0$ $T(1)=2$ $x^2-2x+2$ per alcune costanti e . Collegare i casi base ci dà $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ $\alpha$ $\beta$ che implica

T (0) = α (1 + io)^{0} + β (1 - io)^{0} = α + β = 0 T (1) = α (1 + io)^{1} + β (1 - io)^{1} = (α + β) + (α - β) io = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$

che implica

. Quindi la soluzione è

α + β = 0 α - β = - 2 io

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$

α = - i

$\alpha = -i$

β = i

$\beta = i$

T (n) = io \cdot ((1 - io)^{n} - (1 + io)^{n}) .

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

Questa funzione oscilla tra e $\sqrt{2}^n$ $-\sqrt{2}^n$ $T(4n) = 0$ $n$ $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ $T(0)$

— jeffe
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Mi sembra di ricordare che le radici immaginarie del polinomio caratteristico (che sono, se ricordo bene, le singolarità dominanti della funzione generatrice della sequenza) implicano elementi negativi da qualche parte. È vero? In tal caso, è sicuro di dire che non dovresti mai incontrare questo caso nell'analisi dell'algoritmo.

— Raffaello

2

$2$

1 + i

$1+i$

1 - i

$1-i$

α 2^{n}

$\alpha 2^n$

α

$\alpha$