Le lingue che soddisfano il lemma del pompaggio ma non sono regolari?

Dato un linguaggio regolare , allora è facile dimostrare che esiste una costante N tale che è σ ∈ L , con | σ | ≥ N esistono stringhe α , β e γ tali che | α β | ≤ N e | β | ≠ ϵ , e per tutto k è α β k γ ∈ $L$$N$$\sigma \in L$$\lvert \sigma \rvert \ge N$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lvert \alpha \beta \rvert \le N$$\lvert \beta \rvert \ne \epsilon$$k$$\alpha \beta^k \gamma \in L$. È ampiamente affermato che il contrario non è vero, ma non ho visto alcun chiaro esempio. Eventuali suggerimenti? Chiaramente la prova che il linguaggio offensivo non è regolare deve usare metodi più forti di quelli tipici del "non soddisfa il lemma del pompaggio". Sarei interessato a semplici esempi, da presentare in classi di lingue formali introduttive.

La lingua sembra essere semplice. La seconda parte è regolare (e può essere pompata). La prima parte non è regolare, ma può essere pompata "nella" seconda parte scegliendo $ per pompare.$\{ \$ a^nb^n \mid n \ge 1 \} \cup \{ \$^kw \mid k\neq 1, w\in \{a,b\}^* \}$$\$$

(aggiunto) Naturalmente, questo può essere generalizzato a per qualsiasi L ⊆ { a , b } ∗ . A volte la formulazione è nello stile "if ... then ...": se w inizia con un singolo $, allora è della forma. Che personalmente trovo meno intuitivo.$\$L \cup \{ \$^k \mid k\neq 1 \} \cdot \{a,b\}^*$ $L\subseteq \{a,b\}^*$$w$$\$$

Come notato da @vonbrand, la parte (forse) non regolare della lingua viene isolata intersecando . Questo può essere testato separatamente usando il lemma di pompaggio se necessario.$\$\{a,b\}^*$