Catena infinita di grandi

Prima di tutto, lasciami scrivere la definizione di grande solo per rendere esplicite le cose. $O$

tale che $f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

Diciamo che abbiamo un numero finito di funzioni: soddisfacente: $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

Per transitività di , abbiamo che: $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

Fa questa presa se abbiamo una catena infinita di ? In altre parole, è ? $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

Ho problemi a immaginare cosa stia succedendo.

asymptotics landau-notation

— saadtaame
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Risposte:

Dobbiamo prima chiarire cosa intendiamo con "questo vale se abbiamo una catena infinita?". Lo interpretiamo come una sequenza infinita di funzioni tale che per tutti abbiamo . Tale sequenza potrebbe non avere un'ultima funzione. $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

$f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

D'altra parte possiamo guardare al limite della sequenza delle classi che non deve essere uguale alla classe del limite delle funzioni . Abbiamo , quindi e per tutti . Il limite superiore contiene tutti gli elementi (funzioni in questo caso) che si verificano all'infinito spesso e il limite inferiore contiene tutti gli elementi che si verificano in tutto per alcuni $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (che può dipendere dall'elemento). Poiché la sequenza di classi è monotonicamente crescente, esistono entrambe e sono uguali. Ciò giustifica l'uso di . $\lim$

— frafl
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Esistono due serie: una di funzioni (che possono convergere o meno) e una di set (dove ogni set è un super set del precedente; ecco perché questa serie converge-vedi definizione di lim inf e lim sup per set) . La prima parte risponde alla domanda senza la parte , la seconda parte risponde negativamente alla parte (se è una sorta di lime).

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Cosa succede se il numero di termini non è numerabile? :)

— SamM,

Usando un po 'di ordine o vuoi sostituire la serie con qualcosa di più continuo? :)

— frafl

@Kaveh Grazie mille, ora ha molto senso. Se potessi giustificare l'uso dei limiti e cosa significhi quel limite, ciò completerà la mia comprensione.

— saadtaame,

@saadtaame: Forse è perché la domanda sopra non ti chiede ancora cosa vuoi sapere? Se ricordo bene, hai aggiunto il causa di un commento suggerito. Se fornisci un contesto, forse qualcuno potrebbe riformulare nuovamente la domanda.

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Sì, è possibile avere una catena infinita.

Sono sicuro che hai già familiarità con alcuni esempi: Qui hai una catena infinita: polinomi di grado crescente. Puoi andare oltre? Sicuro! Un esponenziale cresce più velocemente (parlando asintoticamente) di qualsiasi polinomio. E ovviamente puoi continuare:

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

Puoi costruire una catena infinita anche nell'altra direzione. Se allora (attenendosi a funzioni positive, dato che da parti discutiamo degli asintotici delle funzioni di complessità). Quindi abbiamo ad esempio: $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

In effetti, data qualsiasi catena di funzioni , puoi creare una funzione che cresce più velocemente di tutte. (Suppongo che le siano funzioni da a .) Innanzitutto, inizia con l'idea . Potrebbe non funzionare perché l'insieme può essere illimitato. Ma poiché siamo interessati solo alla crescita asintotica, è sufficiente iniziare in piccolo e crescere progressivamente. Prendi il massimo per un numero finito di funzioni. $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ Quindi per qualsiasi , , poiché . Se vuoi una funzione che cresce strettamente più velocemente ( ), prendi .

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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Tutte queste risposte (la tua e l'altra), si basano sul presupporre che sappiamo cosa succede all'infinito, non sono soddisfacenti per me, non so dell'OP (perché non dovremmo avere un gruppo chiuso con dimensioni infinite ?)

@SaeedAmiri Mi dispiace, non capisco il tuo commento: cosa intendi con "sappiamo cosa succede all'infinito, non sono soddisfacenti per me"?

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il