Doppi esponenziali contro singoli esponenziali

Ecco quattro principi che non posso conciliare:

Gli algoritmi del tempo esponenziale doppio vengono eseguiti nel tempo con costante $O(2^{2^{n^k}})$ $k \in \mathbb{N}$
Gli algoritmi del tempo esponenziale vengono eseguiti in con costante $O(2^{n^k})$ $k \in \mathbb{N}$
Il primo limite cresce molto più velocemente del secondo; cioè, esistono algoritmi che funzionano in doppio tempo esponenziale ma non in tempo esponenziale
Applicando al doppio limite esponenziale abbiamo , che rientra nel limite esponenziale precedentemente indicato $a^{b^c} = a^{bc}$ $O(2^{2^{n^k}}) = O(2^{2^{nk}}) = O(2^{2nk})$

Sento che mi manca qualche sottigliezza relativa alla definizione di un algoritmo del tempo esponenziale come in esecuzione in piuttosto che , ma non lo sono sicuro esattamente dove sta la sottigliezza. $O(2^{\mathrm{poly}(n)})$ $O(2^{n})$

asymptotics discrete-mathematics notation

— badroit
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Ho modificato tag e tile poiché, in realtà, questa domanda non ha nulla a che fare con la teoria della complessità: riguarda la notazione matematica e il comportamento asintotico delle funzioni matematiche.

— David Richerby,

Risposte:

Il problema si riduce a una terminologia ambigua.

$(a^b)^c = a^{bc}$ , ma . In altre parole, gli esponenti non sono associativi. $a^{(b^c)} \neq a^{bc}$

Convenzionalmente, gli esponenziali nidificati senza parentesi sono raggruppati in questo secondo modo, perché è più utile. Quindi . Se volessimo parlare di , potremmo semplicemente scrivere invece, quindi riserviamo la doppia notazione esponenziale per l'altro caso. $2^{2^n} = 2^{(2^n)} \neq 2^{2n}$ $(2^2)^n$ $2^{2n}$

— Draconis
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Quella convenzione è l'unica ragionevole. Come hai descritto, scegliere l'altro modo di raggruppare sarebbe inutile poiché potremmo già esprimere quel valore / funzione usando invece di un "doppio esponenziale" di fantasia.

a^{b \cdot c}

$a^{b\cdot c}$

— Bakuriu,

@Bakuriu Oh, davvero, anche se è importante notare che è solo una convenzione. (Potrebbe esserci anche la convenzione di utilizzare sempre le parentesi, che è ciò che LaTeX fa: si rifiuta di indovinare come raggruppare a^b^ce genera invece un errore.)

— Draconis,

Tutta la notazione è "solo una convenzione". Descrivere " " come "solo una convenzione" suggerisce che ci sono altre alternative plausibili ma, in realtà, non ci sono.

a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}

$a^{b^c}=a^{(b^c)}$

— David Richerby,

@DavidRicherby Certamente, tutta la notazione è convenzionale! Ma ciò non significa che non vale la pena notare. È una scelta deliberata da parte dei matematici usare quella notazione: ed è una buona scelta, perché elimina l'ambiguità ed è più utile dell'alternativa. Ma è ancora una scelta, e nulla ti impedisce di definirla in modo diverso (oltre a confondere i lettori per nessun guadagno reale).

— Draconis,

@Bakuriu Non direi che è l' unica convenzione ragionevole, perché mi sembra molto ragionevole supporre che tutte le operazioni vengano valutate da sinistra a destra, a meno che non ci siano parentesi. Questo è ciò che facciamo con l'aggiunta e la sottrazione e ciò che i bambini imparano nella scuola elementare con "PEMDAS". Il fatto che l'espiazione non segua la convenzione mi ha fatto inciampare in passato e quasi tutti quelli che per primi ne sono venuti a conoscenza.

— 6005

$a^{(b^c)}$ non è uguale a . Quando le persone scrivono , di solito significano , non . $(a^b)^c$ $2^{2^k}$ $2^{(2^k)}$ $(2^2)^k$

— DW
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