Tetti unici di quadrati

Vogliamo tessere -square usando due tipi di tessere: -square tile e -square tile in modo tale che ogni quadrato sottostante sia coperto senza sovrapposizioni. Definiamo una funzione che dia la dimensione del più grande quadrato univocabilmente coltivabile usando -squares e un numero qualsiasi di -squares. $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

Questa funzione è calcolabile? Cos'è l'algoritmo?

EDIT1: in base alla risposta di Steven, la piastrellatura unica significa che esiste un modo per posizionare i -squares all'interno della -square con una configurazione unica per le posizioni dei -squares all'interno della -square. $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Come viene definita una lavorazione unica? Ad esempio, potrebbero esserci 4 lavorazioni simmetriche. Sarebbero unici o no?

— Paresh,

I controsoffitti simmetrici contano come una configurazione.

— Mohammad Al-Turkistany,

usando 1 per 1 quadrati o usando al massimo ? altrimenti non è sempre definito: non è possibile tessere nessun quadrato con 2 tessere 1 per 1 e un numero qualsiasi di tessere 2 per 2, perché l'area sarebbe e 2 non è un residuo quadratico modulo 4. per simmetrie intendi il gruppo diedro ?

n

$n$

n

$n$

f

$f$

4 x + 2

$4x + 2$

D_{4}

$D_4$

— Sasho Nikolov,

Ok. In questi casi, definire

. Non ho familiarità con il gruppo diedro D4.

f (n) = 0

$f(n)=0$

— Mohammad Al-Turkistany,

Temo di essere ancora in perdita: un esempio potrebbe fare molto per aiutare a capire, forse. In che modo la risposta fornita non risponde alla domanda?

— Steven Stadnicki,

Ecco un argomento per dimostrare la mia speculazione nei commenti che non esistono tetti così singolari per nessun non quadrato . In primo luogo, come osservato da Sasho nei commenti, deve essere limitato, perché non esistono tali limiti se o . Se è un quadrato perfetto ovviamente il quadrato è piastrellabile in modo univoco, quindi è chiaramente definito e diverso da zero in questi casi. Per completare l'argomento, resta solo da dimostrare che nessuna piastrellatura che coinvolge o più tessere può essere unica. $n\gt 5$ $n$ $n\equiv2$ $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

Innanzitutto, considera il caso , ad esempio . Se abbiamo una piastrellatura di un quadrato usando tessere, ovviamente deve essere pari, diciamo ; allora possiamo costruire i tasselli costruendo una piastrellatura di tessere e quindi sostituendo di queste con "blocchi" di quattro tessere . È chiaro che sostituzioni diverse possono sempre portare a distinzioni distinte tranne nei casi o dove c'è un singolo $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ tessera o un singolo 'blocco di quattro' rimasto; in questi casi, tuttavia, esiste una diversa piastrellatura non equivalente, una che mette una piastrella al centro di un bordo anziché in un angolo. $2\times 2$

Infine, supponiamo che , in particolare presumi (e con per prevenire un caso leggermente banale in cui non vi è semplicemente "spazio insufficiente" nella casella affinché il seguente argomento passi attraverso ). Quindi nessun quadrato di dimensioni o più piccolo può essere unicamente piastrellabile: considera una piastrellatura con tessere sulla parte superiore del quadrato e giù a destra del quadrato (con eventuali tessere extra nascosto sul lato destro - non possono influenzare l'argomento). Ora il blocco nella parte superiore sinistra del quadrato (costituito dalle due tessere nella parte superiore e $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ tessera sotto di loro) può essere 'capovolto' per produrre una piastrellatura che sarà necessariamente diversa dalla piastrellatura che abbiamo costruito. Infine, nessun quadrato di dimensioni maggiori di può essere piastrellabile: supponiamo che stiamo cercando di affiancare un quadrato di dimensioni per ; quindi per il principio del buco del piccione non possiamo inserire più di tessere sul quadrato, il che significa che ci sono quadrati rimasti - ma poiché , , il numero di tessere che abbiamo a disposizione. $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$

Pertanto, i soli limiti unici che esistono per sono quelli che non usano affatto tessere, e è solo diverso da zero quando è un quadrato (nel qual caso è uguale a ). $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ $\sqrt{n}$

— Steven Stadnicki
fonte

dal momento che stavo trovando la parte in cui rimani le tessere rimanenti 1 per 1 a destra iffy (forse per nessun motivo), ecco un aspetto leggermente diverso nel caso in cui e la dimensione del quadrato è . notare che o . in entrambi i casi ci vogliono 1 per 1 tessere per costruire un bordo di spessore 1 per il quadrato. poi ci rimangono tessere 1 per 1. nel caso abbiamo e te ne sei occupato. altrimenti abbiamo ridotto al paragrafo precedente.

n = 4 t + 1

$n = 4t + 1$

x^{2} < (2 t + 1)^{2}

$x^2 < (2t + 1)^2$

x \equiv 1

$x \equiv 1$

x \equiv 3 (\mod 4)

$x \equiv 3 \pmod 4$

2 x - 1 \equiv 1 (\mod 4)

$2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$

n^{'} \equiv 0 (\mod 4)

$n' \equiv 0 \pmod 4$

n^{'} = 0

$n' = 0$

x = 2 t + 1

$x = 2t + 1$

— Sasho Nikolov,

Una piastrellatura unica valida deve utilizzare entrambi i tipi di piastrelle. Ci scusiamo per non averlo indicato chiaramente nella mia domanda.

— Mohammad Al-Turkistany,

@ MohammadAl-Turkistany Steven dimostra sopra che non esistono tetti così singolari per . infatti l'unica piastrellatura unica "valida" secondo la tua definizione è per (una singola tessera 2 per 2 e un "angolo" di 5 1 per 1).

n > 5

$n>5$

n = 5

$n=5$

— Sasho Nikolov,

@Steven Grazie per la risposta, la mia affermazione del requisito di unicità non è interessante in quanto porta a una funzione facilmente calcolabile. Ritieni che possa essere risolto richiedendo che impacchettiamo il numero massimo di -quaresche lasciando scoperte alcune delle -squares? La mia motivazione è quella di costruire una funzione ineccepibile da un semplice problema combainatorio.

2 \times 2

$2 \times 2$

m \times m

$m \times m$

— Mohammad Al-Turkistany,

@Steven, la tua risposta risolve la domanda originale ma non è esattamente ciò che mi ha motivato a porre la domanda. Spero che non ti preoccupi modificando la domanda come l'ho descritta nel commento precedente.

— Mohammad Al-Turkistany,