Perché ci sono più funzioni non calcolabili di quelle calcolabili?

Attualmente sto leggendo un libro su algoritmi e complessità. Al momento sto leggendo le funzioni calcolabili e non calcolabili, e il mio libro afferma che ci sono molte più funzioni non calcolabili che calcolabili, in realtà la maggior parte non è calcolabile dice. In un certo senso posso accettarlo intuitivamente, ma il libro non fornisce una prova formale né elabora molto l'argomento.

Volevo solo vedere una prova / lasciare che qualcuno qui approfondisse / capire più rigorosamente perché ci sono molte più funzioni non calcolabili rispetto a quelle calcolabili.

computability turing-machines combinatorics

— hsalin
fonte

Quando si confrontano due insiemi infiniti, la semantica di "altro" deve essere rivista.

— Raffaello

Risposte:

L'sono numerabile molte funzioni computabili:

Ogni funzione calcolabile ha almeno un algoritmo. Ogni algoritmo ha una descrizione finita usando i simboli di un insieme finito, ad esempio stringhe binarie finite usando i simboli . Il numero di stringhe binarie finite indicato da è numerabile (cioè uguale al numero di numeri naturali ). $\{0,1\}$ $\{0,1\}^*$ $\mathsf{N}$

Pertanto possono esserci al massimo numerose funzioni calcolabili. Ci sono almeno molte funzioni calcolabili numerabili poiché per ogni , la funzione costante è calcolabile. $c\in \{0,1\}^*$ $f(x)=c$

In altre parole, esiste una corrispondenza tra:

l'insieme di funzioni calcolabili,
il set di algoritmi,
$\{0,1\}^*$ , l'insieme di stringhe finite da e $\{0,1\}$
$\mathbb{N}$ , l'insieme dei numeri naturali.

D'altra parte, ci sono innumerevoli funzioni su stringhe (o numeri naturali). Una funzione (oppure ) assegna un valore per ciascun input. Ognuno di questi valori può essere scelto indipendentemente dagli altri. Quindi ci sono possibile funzione. Il numero di funzioni sui numeri naturali è uguale al numero di numeri reali. $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

Poiché solo molte funzioni sono calcolabili, la maggior parte di esse non lo è. In effetti il numero di funzioni non calcolabili è anche . $2^{\mathbb{N}}$

Se vuoi immaginarlo in modo intuitivo, pensa ai numeri naturali e ai numeri reali, o alle stringhe binarie finite e alle stringhe binarie infinite. Esistono molti più numeri reali e stringhe binarie infinite rispetto ai numeri naturali e alle stringhe finite. In altre parole (per una prova di questo fatto vedi l'argomentazione diagonale di Cantor e l' aritmetica cardinale ). $\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

— Kaveh
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Buona risposta! Quello che non capisco (potrei perdere qualcosa di banale qui) è come ottieni ?

N^{N} = 2^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$

— hsalin,

È l'aritmetica cardinale. Scrivi i numeri naturali in una sequenza infinita di numeri naturali in binario, che dovrebbe dare l'intuizione.

— Kaveh,

Perché questo presupposto è vero: "Ogni algoritmo ha una descrizione finita usando i simboli di un insieme finito"? Perché un algoritmo non può avere una descrizione infinita?

— Roland Pihlakas,

@RolandPihlakas che fa parte della definizione di un algoritmo (se preferisci, un programma per computer).

— Kaveh,

$K$

F = {f : N \to {0, 1} : \forall x \in N, f (2 x) = K (x)} .

$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$

f \in F

$f \in F$

F

$F$

Esiste una costruzione simile con funzioni calcolabili. Data una funzione calcolabile , sia In altre parole, se differisce da su valori finitamente molti. Tutte le funzioni in sono calcolabili (hard-code le differenze finitamente molte). Contrariamente alla situazione precedente, è numerabile. $R$

G = {g : N \to {0, 1} : \exists n \in N \forall m \geq n, g (m) = R (m) .}

$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$

g \in G

$g \in G$

R

$R$

G

$G$

G

$G$

Quindi ci sono molte funzioni non calcolabili dal momento che abbiamo "infinitamente molti" gradi di libertà - l'infinito reale piuttosto che l'infinito "potenziale" come nel caso calcolabile.

— Yuval Filmus
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