Matrice inversa di calcolo quando un elemento cambia

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Data una matrice . Lascia che la matrice inversa di sia (ovvero, ). Supponiamo che un elemento in sia cambiato (diciamo in ). L'obiettivo è trovare dopo questa modifica. Esiste un metodo per trovare questo obiettivo più efficiente del ricalcolo della matrice inversa da zero. $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— AJed
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Grandi risposte: ho trovato il seguente documento che affronta questo esatto problema: Sankowski, Piotr. "Chiusura dinamica transitiva tramite inversa matrice dinamica." Fondamenti di informatica, 2004. Atti. 45 ° simposio annuale IEEE su. IEEE, 2004.

— Pubblicato il

Se il documento risponde o risolve il problema in qualche modo, è OK aggiungere una risposta! :) Dopo tutto, i commenti potrebbero essere eliminati in qualsiasi momento.

— Juho,

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La formula Sherman-Morrison potrebbe aiutare:

(UN + u v^{T})^{- 1} = {UN}^{- 1} - \frac{{UN}^{- 1} u v^{T} {UN}^{- 1}}{1 + v^{T} {UN}^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Sia e , dove è il vettore della colonna base standard. Puoi verificare che se la matrice aggiornata è allora $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

{UN}^{' - 1} = {UN}^{- 1} - \frac{({un'}_{io j}^{'} - {un'}_{io j}) {UN}_{io \to}^{- 1} {UN}_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + ({un'}_{io j}^{'} - {un'}_{io j}) {UN}_{io j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(UN + e_{io} δ e_{j}^{⊤}) {UN}^{- 1} = io + e_{io} δ e_{j}^{⊤} {UN}^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

{UN}^{- 1} (UN + e_{io} δ e_{j}^{⊤}) = io + {UN}^{- 1} e_{io} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— Adam W
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Bella risposta, ma quanto è diverso dal precedente di Yuval?

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$