Confluenza dell'espansione beta

Lasciate $\to_\beta$ be $\beta$ -riduzione nel $\lambda$ -calcolo. Definire l' espansione $\beta$$\leftarrow_\beta$ di $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ .

È $\leftarrow_\beta$ confluenti? In altre parole, abbiamo quello per ogni $l,d,r$ , se $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , allora esiste $u$ tale che $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

Parole chiave: confluenza ascendente, proprietà CR capovolta

Ho iniziato osservando la proprietà più debole: confluenza locale (cioè se $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , quindi $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Anche se questo fosse vero, non implicherebbe confluenza poiché l' espansione $\beta$ non è terminante, ma ho pensato che mi avrebbe aiutato a capire gli ostacoli.

(Top) Nel caso in cui sia riduzioni sono al primo livello, l'ipotesi diventa $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . Fino a $\alpha$ -renaming, possiamo supporre che $x_1\not =x_2$e che né $x_1$ né $x_2$ sono gratuiti in questi termini.

(Tiro) Se $x_1$ non è libero in $b_1$ , abbiamo $b_1=b_2[a_2/x_2]$ e quindi hanno $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Una prova ingenua per induzione (su $b_1$ e $b_2$ ) per il caso (in alto) sarebbe la seguente:

• Se $b_1$ è una variabile $y_1$ ,

  • Se $y_1=x_1$ , l'ipotesi diventa $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ , e anzi abbiamo $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

  • Se $y_1\not=x_1$ , allora possiamo semplicemente usare (Lancia).

• Le stesse prove si applicano è $b_2$ è una variabile.

• Per $b_1=\lambda y.c_1$ e $b_2=\lambda y.c_2$ , l'ipotesi diventa $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ e l'ipotesi di induzione dà$d$ tale che$(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ che implica che$\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ . Sfortunatamente, non abbiamo$\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ . (Questo mi fa pensare allariduzione$\sigma$ .)

• Un problema simile si presenta per le applicazioni: gli $\lambda$ non sono dove dovrebbero essere.

Due controesempi sono:

• $(\lambda x. b x (b c)) c$ e$(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin).
• $(\lambda x. a (b x)) (c d)$ e$a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom).

Il controesempio dettagliato di seguito è riportato in The Lambda Calculus: Its Syntax and Semantics di HP Barenredgt, edizione rivista (1984), esercizio 3.5.11 (vii). È attribuito a Plotkin (nessun riferimento preciso). Fornisco una prova incompleta che viene adattata da una prova di Vincent van Oostrom di un diverso controesempio, in Take Five: an Easy Expansion Exercise (1996) [PDF] .

La base della dimostrazione è il teorema di standardizzazione, che ci consente di considerare solo le espansioni beta di una determinata forma. Intuitivamente parlando, una riduzione standard è una riduzione che fa tutte le sue contrazioni da sinistra a destra. Più precisamente, una riduzione è non standard se esiste un passaggio $M_i$ cui redex è un residuo di un redex a sinistra del redex di un passaggio precedente $M_j$ ; "Sinistra" e "destra" per un redex sono definiti dalla posizione di $\lambda$ che viene eliminata quando il redex viene contratto. Il teorema di standardizzazione afferma che se $M \rightarrow_\beta^* N$ allora c'è una riduzione standard da $M$ a$N$ .

Sia $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ e $R = (\lambda x. x x) (b c)$ . Entrambi i termini riducono beta a $b c (b c)$ in un solo passaggio.

Supponiamo che ci sia un antenato comune $A$ tale che $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ . Grazie al teorema di standardizzazione, possiamo presumere che entrambe le riduzioni siano standard. Senza perdita di generalità, supponiamo che $A$ sia il primo passo in cui queste riduzioni differiscono. Di queste due riduzioni, sia $\sigma$ quello dove il redex del primo passo è alla sinistra dell'altro, e scrivi $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ dove $C_1$è il contesto di questa contrazione e $(\lambda z. M) N$ è il redex. Sia $\tau$ l'altra riduzione.

Da $\tau$ è standard e il suo primo passo è alla destra del buco in $C_1$ , non può contrarsi a $C_1$ né a sinistra di esso. Pertanto il termine finale di $\tau$ è della forma $C_2[(\lambda z. M') N']$ dove le parti di $C_1$ e $C_2$ a sinistra dei loro fori sono identiche, $M \rightarrow_\beta^* M'$ e $N \rightarrow_\beta^* N'$. Poiché $\sigma$ inizia riducendo in $C_1$ e non riduce mai più a sinistra, il suo termine finale deve essere della forma $C_3[S]$ dove la parte di $C_3$ a sinistra del suo foro è identica alla parte sinistra di $C_1$ e $C_2$ , e $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ .

$L$$R$$\tau$$\lambda z. M$$L$$R$$\tau$$N$$C_1 = C_2 = C_3 = []$

• Se $\tau$ termina con $R$ , allora $M \rightarrow_\beta^* z z$$N \rightarrow_\beta^* b c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$$N$$L$$b c$$N$$N$$\sigma$$\check{N} P$$\check{N}$$N$$L$$b c$$b c$$N$$L$$b c$

• Se $\tau$ termina con $L$ , allora $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$$N \rightarrow_\beta^* c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$$N$$R$$c$

$N$$M$

$\beta$$x$$v$$(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$$(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ per tutti i termini$t_1$$t_2$$\beta$$t_1$$t_2$$u$$u \to_\beta^\ast t_1$$u \to_\beta^\ast t_2$