Proprietà globali delle classi ereditarie?

Una classe ereditaria di strutture (ad es. Grafici) è una classe chiusa sotto sottostrutture indotte, o equivalentemente, chiusa sotto rimozione di vertici.

Le classi di grafici che escludono un minore hanno belle proprietà che non dipendono dal minore escluso specifico. Martin Grohe ha dimostrato che per le classi di grafi escludendo un minore esiste un algoritmo polinomiale per l'isomorfismo e una logica a virgola fissa con conteggio cattura il tempo polinomiale per queste classi di grafi. (Grohe, definibilità a virgola fissa e tempo polinomiale su grafici con minori esclusi , LICS, 2010.) Questi possono essere considerati proprietà "globali".

Esistono proprietà "globali" simili note per le classi ereditarie (grafici o strutture più generali)?

Sarebbe bello vedere ogni risposta focalizzata su una sola proprietà specifica.

Le proprietà ereditarie sono molto "robuste" nel senso seguente.

Noga Alon e Asaf Shapira hanno dimostrato che per qualsiasi proprietà ereditaria , se un grafico G necessita di aggiungere o rimuovere più di ϵ n 2 bordi per soddisfare P , allora esiste un sottografo in G , di dimensioni al massimo f P ( ε ) , che non soddisfa P . Qui, la funzione f dipende solo dalla proprietà P (e non dalla dimensione del grafico G , per esempio). Erdős aveva fatto una simile congettura solo sulla proprietà della k -colorabilità.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

Infatti, Alon e Shapira dimostrano il seguente fatto più forte: dato , per ogni ϵ in ( 0 , 1 ) , ci sono N ( ϵ ) , h ( ϵ ) e δ ( ϵ ) tali che se un grafico G ha almeno N vertici e richiede almeno ε n 2 bordi aggiunto / rimosso per soddisfare , poi per almeno frazione sottografi indotte su vertici, il sottografo indotto viola${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$ δ h ${\cal P}$$\delta$$h$${\cal P}$ . Pertanto, se e la proprietà P sono fissati, per test se un grafo di ingresso soddisfa P o è ε -FAR da soddisfare P , allora bisogna solo interrogare i bordi di un sottografo indotto casuale di dimensione costante dal grafico e controlla se soddisfa la proprietà o meno. Tale tester sarebbe sempre accettare grafici soddisfano P e respingerebbe grafici ε -FAR da soddisfare con probabilità costante. Inoltre, qualsiasi proprietà testabile su un lato in questo senso è una proprietà ereditaria! Vedi l'articolo di Alon e Shapira per i dettagli.$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Questo potrebbe non essere esattamente quello che avevi in ​​mente, ma ci sono restrizioni note su quanti grafici su vertici ci possono essere in una classe ereditaria di grafici. Ad esempio, non esiste una classe ereditaria di grafici che abbia tra 2 Ω ( n ) e 2 o ( n log n ) grafici su n vertici.$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

Riferimento: E. Scheinerman, J. Zito, On the Size of Hereditary Classes of Graphs, Journal of Combinatorial Theory Series B

Questo è legato alla risposta di Travis. In effetti, potrebbe essere considerata una versione più forte.

Un articolo di Bollob \ 'as ​​e Thomason (Combinatorica, 2000) mostra che in Erd \ H {o} sR \' enyi grafici casuali (con p una costante fissa), ogni proprietà ereditaria può essere approssimata da ciò che essi chiamare una proprietà di base . Base significa quasi grafici i cui insiemi di vertici sono unioni di classi r , s di cui si estendono cricche e r - s di cui si estendono insiemi indipendenti, ma non del tutto. Questa approssimazione viene utilizzata per caratterizzare la dimensione di un P -set maggiore nonché il numero P- cromatico di G n $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , dove P è una proprietà ereditaria fissa. Sep hapermesso di variare, il comportamento non è ben compreso.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Per ulteriori informazioni su questo e il lavoro correlato, c'è un sondaggio di Bollob come " Proceedings of the ICM 1998" che fornisce anche una congettura allettante lungo queste linee ma per gli ipergrafi.

Trovo molto interessante la profonda connessione tra le proprietà ereditarie e il Lemma di regolarità di Szem \ 'eredi, poiché è stato usato sia qui che nei risultati di Alon e Shapira.

La risposta di Suresh sulla congettura dell'AKR mi ha fatto pensare alla stessa congettura per le proprietà ereditarie. Penso (a meno che non abbia fatto un errore) di poter dimostrare che tutte le proprietà ereditarie non banali hanno una complessità (casuale e deterministica) dell'albero della decisione , che regola la congettura dell'AKR per tali proprietà (fino alle costanti).$\Theta(n^2)$

Ho provato a cercare nella letteratura per vedere se questo è stato mostrato da qualche parte, ma non sono riuscito a trovare un riferimento. Quindi o non sono riuscito a trovarlo ma esiste, oppure il teorema non è interessante o ho fatto un errore.

Quindi, questo è un altro esempio di una proprietà globale di tutte le proprietà ereditarie del grafico.

Secondo la congettura di Erdős-Hajnal , ogni famiglia ereditaria ha la proprietà che i grafici in essa contenuti abbiano cricche o insiemi indipendenti di dimensioni polinomiali (cioè per alcuni c > 0 che dipendono dalla famiglia ma non da il grafo). Ciò è in contrasto con i grafici casuali, in cui la cricca più grande e l'insieme indipendente più grande sono entrambi logaritmici.$\Omega(n^c)$$c>0$

Questa è la direzione "inversa", ma la nota congettura di Aanderaa-Rosenberg-Karp si applica alle proprietà del grafico che sono monotone verso l'alto (cioè se G soddisfa la proprietà, quindi anche qualsiasi grafico sugli stessi nodi il cui bordo impostato contiene E (G )).