Sulla complessità della minimizzazione della larghezza di banda

Il problema della larghezza di banda del grafico è definito come segue. Dato un grafico , un layout f di G è una mappatura uno-a-uno dei vertici di G sugli interi { 1 , … , | V | } . La larghezza di banda di f è definita come$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

.$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$

La larghezza di banda di $G$ , denotato , è definita come la larghezza di banda minima di un layout minimo che viene rilevata tutte le possibili configurazioni.$bw(G)$

La domanda di decisione è: dato un grafico e un intero k , è b w ( G ) ≤ k ?$G$$k$$bw(G) \le k$

È noto che questo problema è NP-completo anche per alberi di massimo grado tre [ Risultati della complessità per minimizzare la larghezza di banda . Garey, Graham, Johnson e Knuth, SIAM J. Appl. Math., Vol. 34, n. 3, 1978]. Gli autori mostrano che si può verificare se un grafico ha una larghezza di banda al massimo due in tempo polinomiale. Il caso era aperta.$bw \le 3$

La complessità del caso nota? Cosa sappiamo della complessità del problema quando k non fa parte dell'input ma una costante fissa almeno 4 ?$bw \le 3$$k$$4$

I riferimenti sarebbero carini.

Il problema della larghezza di banda è -hard per tutte t . È stato mostrato da Bodlaender et al. in "Oltre la completezza NP per problemi di larghezza limitata." Vedi il documento .$W[t]$$t$

D'altra parte, è anche noto che per qualsiasi , se un dato grafico ha una larghezza di banda al massimo k può essere deciso in O ( f ( k ) n k + 1 ) tempo. Ciò implica che il problema larghezza di banda è in X P . Vedi un altro articolo di Saxe.$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$