Esistono applicazioni di tecniche nell'analisi reale all'informatica teorica?

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Ho cercato in lungo e in largo per tali applicazioni e per lo più mi sono accorto che era corto. Riesco a trovare molte applicazioni di topologia e strutture simili su insiemi numerabili (o innumerevoli), ma raramente trovo insiemi numerabili come oggetto di studio da parte di scienziati informatici, e quindi portano alla necessità di tecniche di analisi.

co.combinatorics big-picture

— al 100%
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Secondo quanto dicono i miei amici, è necessaria una vera analisi nella teoria dell'informazione. Tuttavia, se si lasciano fuori le basi non sembra essere popolare in TCS (almeno per me).

— singhsumit,

La teoria dell'informazione è abbastanza per me! Se riesci a tirar fuori un esempio specifico, segnerò la tua risposta come risposta ..

— robinhoode,

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C'è anche elaborazione del segnale, grafica e cosa hai. Che tipo di tecniche stai cercando?

— Shir

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Un esempio (non sono sicuro se è quello che stai cercando) dalla Teoria dell'informazione: , ovvero le informazioni reciproche di due variabili casuali non sono negative. Ciò deriva direttamente dalla concavità della funzione e dalla disuguaglianza di Jensen. (vedi Elements of Information Theory, di Cover and Thomas, pagina 28)

I (X; Y) \geq 0

$I(X;Y)\geq 0$

X, Y

$X,Y$

l o g

$log$

— Shir

Sei interessato anche ad applicazioni di analisi complesse?

— Raffaello,

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Ecco due corsi correlati:

Metodi analitici in combinatoria e CS di Ehud Friedgut presso l'Università di Toronto (2009),
Metodi analitici in Combinatoria e Informatica di Irit Dinur ed Ehud Friedgut presso la Hebrew University (2006).

Controlla anche le note di Ryan O'Donnell per il suo libro:

Analisi delle funzioni booleane di Ryan O'Donnell.

e i collegamenti nell'angolo in alto a destra.

— Kaveh
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Questi appunti delle lezioni sono fantastici! Buon post!

— Nicholas Mancuso,

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Vedi il libro Concrete Mathematics - A Foundation for Computer Science di Graham, Knuth e Patashnik. Nel capitolo 9 spiegano la formula della somma di Eulero-Maclaurin . Questa è una tecnica che ti consente di approssimare una somma finita usando gli integrali. Nello stesso capitolo, pagina 466, usano questa tecnica per approssimare il numero armonico (che appare molto in diverse aree del TCS). Una volta mi è capitato di usarlo e alla fine ho risolto un integrale usando tecniche di approssimazione asintotica per equazioni differenziali!

— Marcos Villagra
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Buoni collegamenti, ma non è questa analisi numerica?

— Huck Bennett,

questo è completamente analistico.

— Marcos Villagra,

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C'è la teoria dei limiti delle sequenze di grafi densi, sviluppata nel lavoro di Lovasz e B. Szegedy. Ha implicazioni per alcuni problemi di test delle proprietà sui grafici. Vedi http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Fondamentalmente l'idea è che definiscono una metrica adatta sui grafici e una nozione di prendere limiti delle sequenze di grafici, e quindi mostrano che una proprietà del grafico è verificabile se la funzione che mappa un grafico alla distanza di modifica della proprietà è continua nella spazio metrico nei grafici definiti.

E poi c'è ovviamente l' opera magnum di Flajolet e Sedgewick dedicata interamente all'utilizzo di metodi analitici per l'analisi asintotica delle strutture combinatorie, compresa l'analisi degli algoritmi. Questo sta principalmente generando trucchi funzionali basati su analisi complesse

— Sasho Nikolov
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Vale la pena ricordare che la teoria dei limiti dei grafici e, più in generale, l'analisi sui grafici è un argomento molto caldo, vedi ad esempio math.ias.edu/cga

— Marcin Kotowski

bel puntatore @MarcinKotowski. è bello avere laci lovasz nella zona :)

— Sasho Nikolov

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Come ha detto Shir, la disuguaglianza di Jensen si manifesta continuamente. Soprattutto nel dimostrare limiti nei problemi combinatori. Ad esempio, considera il seguente problema:

$S_1, \ldots, S_n$ $V = \{1, \ldots, n\}$ $G = (V, E)$ $\{i, j\} \in E$ $S_i \cap S_j \neq \emptyset$ $r$ $|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$ .

Prova:

Contiamo le coppie tale che e . Prima correggiamo , vediamo che ci sono al massimo tali scelte. Prendendo anche tutti i valori di , abbiamo un limite superiore di. Ora ripariamo x. È facile vedere che ogni ha modi per scegliere . Dalla disuguaglianza di Jensen abbiamo: $(x, (S_i, S_j))$ $x \in V$ $x \in S_i \cap S_j$ $(S_i, S_j)$ $k$ $(S_i, S_j)$ $k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$ $x$ $\binom{d(x)}{2}$ $(S_i, S_j)$

$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$ .

Finalmente combiniamo i termini per avere. $\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

Sebbene questa sia un po 'più "matica" di CS, serve a mostrare come utilizzare uno strumento per le funzioni convesse, soprattutto nell'ottimizzazione combinatoria.

— Nicholas Mancuso
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notate che la disuguaglianza di jensens sembra essere fortemente correlata al erd "os girasole lemma [la versione discreta vista nei limiti inferiori del circuito] anche se non credo di aver visto che si sia dimostrato ovunque.

— vzn

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che ne dici di un calcolo efficiente con Dedekind Reals di Andrej Bauer e Paul Taylor.

— vzn
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Mi piace molto leggere del lavoro in questo senso: l'esatto calcolo dei numeri reali offre una prospettiva interessante su quali insiemi non siano numerabili, così come alcuni algoritmi strabilianti.

— Neel Krishnaswami,

... di Andrej Bauer e Paul Taylor , per favore.

— Andrej Bauer,

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Oh hey, posso modificare il post. Fisso.

— Andrej Bauer,

stare corretto. usato l'autore elencato su carta. forse dovresti metterlo come coautore del documento

— vzn

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Dipende dal fatto che la teoria in cui provi a dimostrarla sia classica o costruttiva. Costruttivamente, basta usare l'argomento standard di diagonalizzazione per dimostrare che non sono numerabili. Poiché i numeri reali devono essere realizzati mediante processi calcolabili, da un POV classico la dimostrazione costruttiva ci sta dicendo che il problema dell'arresto è indecidibile. Questo fa parte di ciò che intendevo quando ho detto che offre prospettive interessanti su quali insiemi non numerabili sono ..!

— Neel Krishnaswami,

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Una tecnica molto comune e spesso utile quando si affronta un problema in matematica discreta è incorporarlo in un dominio continuo, in quanto ciò consente di utilizzare una scelta più ricca di strumenti matematici. Quindi, correggendo la mia risposta: oltre ai campi in cui la vera analisi apparirà naturalmente (grafica, elaborazione del segnale e altri campi che imitano o interagiscono con il mondo fisico), si apre praticamente ovunque, e in luoghi che non avevano - il mio suppongo che lo sarà in futuro.

Alcuni brevi esempi:

Codici di correzione errori: i codici Salomon di Reed usano i polinomi. Alcuni limiti sui codici comportano la visualizzazione della funzione indicatore del codice come funzione dal cubo discreto ai reali, applicando così la trasformata di Fourier e altre tecniche.
Il metodo probabilistico - misurare i teoremi di concentrazione (uno strumento analitico) sono usati per mostrare varie proprietà di grafici casuali (ad es. Numero cromatico). Vedi il libro di Alon e Spencer.
Il teorema delle intersezioni (questo è più correlato alla Combinatoria, ma comunque) - un grafico con vertici ed bordi ha almeno . La dimostrazione prevede la creazione di un grafico casuale e l'ottimizzazione dei parametri tramite derivazione. $v$ $e$ $\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$
La condivisione segreta di Shamir utilizza il fatto che un polinomio grado diverso da zero è definito in modo univoco da punti (si basa sul fatto che i punti forniscono praticamente zero informazioni). $k-1$ $k$ $k-1$

— Shir
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Esempi concreti, per favore?

— Marcin Kotowski,

Ho aggiunto 4 esempi, anche se penso che ce ne siano così tanti, possiamo davvero andare tutto il giorno.

— Shir

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Se ricordo correttamente il teorema di Noga Alon sulla scissione delle collane usa la versione continua del problema.

Vedi: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

C'è anche una menzione di questo nella pagina wiki qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

— Aryabhata
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Il campo della misura limitata dalle risorse applica la misura di Lebesgue alle classi di complessità. L'idea è di ottenere separazioni tra le classi di complessità parlando delle relative "dimensioni" di questi insiemi.

— mikero
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C'è un bellissimo documento, La comunicazione quantistica a senso unico è esponenzialmente più forte della comunicazione classica di Boaz Klartag e Oded Regev, che utilizza un numero piuttosto elevato di tecniche di analisi reali non comuni nel TCS, tra cui la trasformazione di Radon, le armoniche sferiche e l'ipercotessuale disuguaglianze nella sfera unitaria (non discreta)

— user887
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Un limite esponenziale inferiore per le dimensioni dei circuiti reali monotoni (1997) di Haken, Cook

— VZN
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perché questa è una risposta separata dalla tua prima? Perché non solo modificare?

— Artem Kaznatcheev

diverso campo di applicazione

— vzn

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Ho sempre trovato molto interessanti le connessioni tra linguaggi regolari / senza contesto e teoria delle funzioni (serie (formali) di potere): ecco perché i francesi chiamano queste classi linguistiche "razionali" e "algebriche". Ciò indica anche connessioni alla geometria frattale. Allo stesso modo, ad esempio, gli automi finiti potrebbero definire linguaggi su parole infinite che hanno belle proprietà topologiche se equipaggiati con la topologia metrica standard.

Un'altra connessione potrebbe essere la teoria recentemente sviluppata delle "convoluzioni impostate" che consentono di accelerare diversi algoritmi simili a quelli noti dalle trasformazioni di Fourier. Presumo che queste siano almeno "somiglianze ispiratrici".

— Henning Fernau
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