Qual è la macchina di Turing universale a 2 stati non controversa più semplice?

Voglio codificare una semplice macchina di Turing nelle regole di un gioco di carte. Vorrei renderlo una macchina Turing universale per dimostrare la completezza di Turing.

Finora ho creato uno stato di gioco che codifica per la macchina di Turing a 2 stati e 3 simboli di Alex Smith . Tuttavia, sembra (sulla base di Wikipedia) che ci sia qualche controversia sul fatto che la macchina (2, 3) sia effettivamente universale.

Per amor di rigore, mi piacerebbe che la mia prova presentasse un UTM "non controverso". Quindi le mie domande sono:

1. La macchina (2,3) è generalmente considerata universale, non universale o controversa? Non so dove sarebbero posti affidabili per cercare la risposta a questo.

2. Se la macchina (2,3) non è ampiamente accettata come universale, qual è la N più piccola in modo tale che una macchina (2, N) sia accettata non controversa come universale?

Modificato per aggiungere: sarebbe anche utile conoscere eventuali requisiti per il nastro infinito per le macchine menzionate, se ti capita di conoscerli. Sembra che la macchina (2,3) richieda uno stato iniziale di nastro non periodico, che sarà un po 'difficile da simulare all'interno delle regole di un gioco di carte.

Ci sono stati alcuni nuovi risultati da quando il lavoro citato nelle risposte precedenti. Questo sondaggio descrive lo stato dell'arte (vedi Figura 1). Le dimensioni della più piccola macchina Turing universale nota dipendono dai dettagli del modello e qui ci sono due risultati che sono rilevanti per questa discussione:

• Esiste una macchina universale standard a 2 stati e 18 simboli (Rogozhin 1996. TCS, 168 (2): 215–240). Qui abbiamo la solita nozione di simbolo vuoto in una o entrambe le direzioni di un singolo nastro.
• $r$$l$

Sembra che (2,18) sia più utile per te.

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

La figura mostra le macchine universali più piccole conosciute per una varietà di modelli di macchine Turing (prese da Neary, Woods SOFSEM 2012), i riferimenti sono disponibili qui .

Questa non è una vera risposta alla tua domanda (non so molto sul dibattito (2,3) della macchina); ma ti suggerisco il documento " Piccole macchine di Turing e concorrenza generalizzata sui castori indaffarati ". L'ho letto rapidamente qualche tempo fa e ha un bel grafico con i bordi tra i 4 tipi di piccole TM:

• decidibile
• aprire un problema simile a Collatz
• $3x + 1$
• universale

(forse alcuni risultati sono stati migliorati).

La nozione di TM usata nella carta è la definizione standard di TM usata nelle carte su piccole macchine universali di Turing:

... Hanno un unico nastro monodimensionale infinito in entrambe le direzioni e una testa di lettura / scrittura a due punte unica. C'è un simbolo vuoto indicato con 0. Inizialmente, una parola finita, l'input, è scritta sul nastro, altre celle contengono il simbolo vuoto, la testa legge il simbolo più a sinistra dell'input e lo stato è lo stato iniziale. Ad ogni passo, in base allo stato corrente della macchina e al simbolo letto dalla testa, il simbolo viene modificato, la testa si sposta a sinistra o a destra (e non può rimanere a leggere la stessa cella) e lo stato viene modificato. Il calcolo si interrompe quando viene raggiunto uno stato di arresto speciale. ...

È anche possibile ottenere l'universalità con 7 stati e 2 simboli, sebbene si applichino molte delle stesse obiezioni (condizioni iniziali non uniformi sul nastro infinito e condizioni di terminazione insolite). Vedi http://11011110.livejournal.com/104656.html e http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

Questi si basano sulla simulazione dell'automa cellulare della Regola 110, dimostrato universale da Matthew Cook, e Cook ha anche trovato una simulazione a 5 simboli a 5 stati della Regola 110, se sei legato alla restrizione che ci sono solo due stati.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

In ogni momento, solo la cella corrente, o le due celle coinvolte in una transizione, possono avere colori migliorati: tutte le altre celle hanno il loro vero colore. Vogliamo che la nostra macchina si comporti come segue: controlla quale vera transizione eseguire, sposta le informazioni sullo "stato reale" dalla cella che vogliamo lasciare alla cella di destinazione (questo comporta un sacco di avanti e indietro), pulisci il cella che abbiamo lasciato (dandogli un colore vero), ripeti.

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

Ecco le transizioni per implementarlo. In quasi tutti i casi, spostati nella direzione specificata dallo stato corrente, quindi capovolgi lo stato

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

a meno che tu non definisca attentamente "non controverso" in qualche modo tecnico non c'è una risposta precisa. ecco un'altra piccola macchina basata sulla regola 110 si è dimostrata universale in un certo senso, ma la mia comprensione è che richiede infinite formulazioni periodiche del nastro di input (e allo stesso modo l'estrazione alla fine quando la macchina si ferma). non ha mai visto il problema "periodico vs nonperiodico" descritto in letteratura, sebbene sia stato discusso ad esempio su mailing list di matematica [Founding of Mathematics mailing list]

La prova di Turing-universalità di Alex Smith della congettura di Turing a 2 stati e 3 simboli di Wolfram non è sicuramente controversa. La dimostrazione di universalità fornita (non la macchina) richiede un modello infinito sul nastro di Turing, e la domanda era se si dovrebbero consentire tali configurazioni (si può pensare al nastro solitamente "vuoto" come un modello ripetitivo infinito di simboli vuoti). La conclusione è stata che finché la configurazione sul nastro della macchina è fissa (cioè non cambia dopo l'inizio del calcolo e rimane la stessa per qualsiasi calcolo), il calcolo universale viene eseguito dalla macchina di Turing. Si noti che questo NON è controverso per la regola 110 di Automaton cellulare elementare di Wolfram che Wolfram e Cook hanno dimostrato universale. La dimostrazione di universalità della regola 110 richiede anche un modello infinito sulla configurazione iniziale, che è diverso su entrambi i lati, e quindi è della stessa natura per la macchina di Turing a 2 stati e 3 simboli. Un'altra preoccupazione era che forse un tale allentamento del requisito della condizione iniziale (vuoto) avrebbe reso universali alcuni automi universali non Turing accettati, come stati finiti, lineari limitati o abbassati gli automi per citare alcuni esempi, ma non è così rispetta la gerarchia di Chomsky. Quindi sicuramente non è controverso se la macchina di Turing a 2 stati e 3 simboli sia universale, ma la sua prova di universalità ha richiesto una variazione di quelli che di solito sono considerati i capi di un normale nastro di Turing. Ciò non implica direttamente, tra l'altro, che lo stato 2,