Larghezza dell'albero e imballaggio

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La mia domanda è un po 'vaga. Mi chiedevo se (e come), possiamo applicare la nozione di larghezza degli alberi ai problemi di impaccamento nei grafici.

Sarei felice con qualsiasi intuizione o riferimento dei precedenti lavori di ricerca su questo (supponendo che si tratti di una relazione). Grazie.

— Nikhil
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Posso interpretare questa domanda in due modi diversi:

1) Quando si tratta di proprietà algoritmiche di problemi di impaccamento su grafici di larghezza dell'albero limitata, il Teorema di Courcelle mostra che per ogni fisso $k$ possiamo risolvere in modo ottimale i problemi esprimibili nella logica monadica del secondo ordine in tempo lineare sui grafici della larghezza dell'albero al massimo (vedi ad esempio http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 $k$ per un sondaggio sulle proprietà algoritmiche dei grafici a larghezza limitata). Poiché molti problemi di imballaggio possono essere formulati in MSOL, questo dimostra la tracciabilità di molti di questi problemi su grafici di larghezza dell'albero limitata, tra cui Set indipendente, Imballaggio triangolo, Imballaggio ciclo, Imballaggio di copie disgiunte vertice / bordo di qualsiasi grafico fisso, impaccamento di modelli minori disgiunti vertici di alcuni grafici fissi H e così via. Ma poiché questa trattabilità si estende a tutti i problemi definibili da MSOL, non è specifica per l'imballaggio.

2) Quando si tratta di relazioni grafo-strutturali tra imballaggi e larghezza dell'albero, ciò che segue potrebbe essere interessante. Grazie al lavoro di Robertson e Seymour è noto che esiste una funzione tale che ogni grafico della larghezza dell'albero almeno contiene una griglia come minore (il limite originale per dato da Seymour e Robertson sono stati successivamente migliorati in collaborazione con Thomas; vedi http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 per il limite attualmente migliore). Quindi se hai una struttura tale che molte copie di $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f(r)$ $r \times r$ $f$ $S$ $S$ può essere imballato in una minore griglia, poi si sa che qualsiasi grafico di grande treewidth contiene una grande imballaggio di copie di . Ad esempio, poiché una griglia (per pari ) contiene cicli vertici-disgiunti, ne consegue che un grafico della larghezza dell'albero contiene almeno cicli disgiunti. $r \times r$ $S$ $r \times r$ $r$ $(r/2)^2$ $f(r)$ $(r/2)^2$

— Bart Jansen
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Bart Può essere irrilevante, ma vedi qualche relazione tra ricostruzione del grafico e larghezza dell'albero? Hai anche un link alla versione gratuita del tuo prof paper? (Ottimizzazione combinatoria sui grafici della larghezza degli alberi vincolati)

— Saeed,

Il documento sulla larghezza degli alberi è disponibile su Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 . Per quanto riguarda la ricostruzione del grafico: intendi il processo in cui, dato il multiset di tutti i sottografi che si ottengono eliminando un singolo vertice, vuoi ricostruire il grafico originale? Sembra che Shiva Kintali abbia recentemente esaminato la questione se la congettura della ricostruzione grafica sia vera per la larghezza degli alberi due: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… .

— Bart Jansen,

Grazie bart, sì, vedo la domanda di Shiva, ma, è stato per un anno fa, potrebbe esserci un nuovo risultato, grazie a tutti.

— Saeed,

Il sito web di Shiva elenca due manoscritti sull'argomento, "Sulla ricostruzione di k-alberi e alberi di grafici regolari" e "Nuove proprietà del grafico ricostruibile" con una nota "pdf coming coming" ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon ). Potresti contattarlo direttamente per chiedere informazioni sullo stato dell'arte attuale.

— Bart Jansen,

r \times r

$r \times r$

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$

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$2^k \operatorname{poly(n)}$ $k$

— Janne H. Korhonen
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Grazie Janne per la tua risposta. Sono a conoscenza dell'algoritmo MIS. Oltre a MIS, la nozione di larghezza degli alberi è stata applicata all'imballaggio di altre strutture? Inoltre, non sono del tutto convinto di pensare al MIS come ad un ammasso di stelle disgiunte, potresti spiegare il tuo punto su questo? (quale struttura a stella stai cercando di impacchettare, qual è la nozione di "stelle disgiunte")?

— Nikhil,

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Non è così semplice come pensavo quando ho pubblicato la risposta. "Impacchettare le stelle disgiunte dal bordo" sarebbe più appropriato, quindi dovrai richiedere che ogni stella piazzata abbia il maggior grado possibile. Non ricordo di aver visto la larghezza degli alberi applicata a problemi di imballaggio più complessi.

— Janne H. Korhonen,

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Il set indipendente massimo è certamente un "problema di imballaggio" nella solita terminologia; un altro esempio di un problema di imballaggio è la corrispondenza massima. (Stanno impacchettando programmi interi; il rilassamento LP è un impacchettamento LP.)

— Jukka Suomela,

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Un meraviglioso riferimento su questo argomento è il seguente articolo del sondaggio di Bruce Reed.

Reed, B. (1997). Larghezza e grovigli dell'albero: una nuova misura di connettività e alcune applicazioni. Sondaggi in combinatoria, 241, 87-162.

Uno dei miei articoli recenti consente di bypassare il teorema della griglia minore in alcuni casi tramite teoremi di decomposizione della larghezza degli alberi. Vedi carta sotto.

Decomposizioni e applicazioni del grafico ad ampia larghezza di albero http://arxiv.org/abs/1304.1577

— Chandra Chekuri
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Questa è anche una risposta vaga. Esiste una dualità simile al teorema di Erdos-Posa per i grafici della larghezza degli alberi limitata. Vedi, ad esempio, Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: rafforzamento della proprietà Erdös-Pósa per classi di grafici minori chiuse. Journal of Graph Theory 66 (3): 235-240 (2011)

— R2-D2
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