Bellissimi risultati in TCS

Di recente, un mio amico (che lavora in TCS) ha menzionato in una conversazione che "voleva vedere / conoscere tutti (o il più possibile) dei meravigliosi risultati in TCS nella sua vita". Questo tipo di mi ha fatto riflettere sui bellissimi risultati in questo settore e quindi sulla motivazione per la seguente domanda:

Quali risultati (o idee), secondo te, sono belli in informatica teorica? Sarebbe bello se anche tu ne parlassi. [Andrebbe anche bene anche se le idee provengono dalla matematica, ma hanno suscitato interesse e trovato usi nel TCS]

Vorrei iniziare con una risposta come argomento diagonale di Cantor perché è un risultato semplice, elegante e tuttavia potente.

L'indecidibilità del problema di arresto.

Bello per molte ragioni. È un risultato impossibile. La dimostrazione usa la diagonalizzazione. La dichiarazione si applica a una vasta gamma di modelli di calcolo. Può essere formulato in vari modi, in particolare utilizzando linguaggi di programmazione standard. Fu un risultato spartiacque nella storia dell'informatica. L'estensione di questa affermazione porta al teorema di Rice, ai gradi di Turing e a molti altri risultati interessanti. Ecc. Ecc. Ecc.

Secondo me, la corrispondenza Curry-Howard è uno dei risultati teorici più belli e quello che mi ha spinto a fare ricerche.

L'idea che due sistemi, programmi da un lato e prove dall'altro, abbiano esattamente la stessa struttura, è quasi di natura filosofica: esistono alcuni "schemi di ragionamento" generali?

La possibilità della crittografia a chiave pubblica, ad esempio lo schema di scambio di chiavi Diffie-Hellman.

Rompe il preconcetto molto forte che le persone devono incontrare prima di scambiarsi segreti su un canale insicuro.

Sono stato e sono ancora sorpreso dall'algoritmo di Euclide. Per me, è una testimonianza del potere del pensiero umano - che le persone potrebbero concepire un tale algoritmo così presto (intorno al 300 aC se mi fido della mia memoria).

Avanzamento rapido, sull'argomento c'è letteratura che intorpidisce la mente. Penso che la lista di Scott Aaronson dovrebbe essere utile in questo senso - sebbene, come lo stesso Aaronson afferma che non è completo (e non del tutto teorico)

La tecnica di Yao per usare il Teorema di Minmax di von Neumann per dimostrare limiti inferiori per gli algoritmi randomizzati. Lo trovo come qualcosa di fuori dal mondo.

Metodo probabilistico per dimostrare l'esistenza di oggetti che abbiamo difficoltà a costruire tra cui il Lemma locale di Lovasz. Queste tecniche sono così semplici, ma così potenti.

Costruzioni della teoria dei codici di Madhu Sudan usando polinomi.

Espansori (iniziati come grafici Ramanujan) ed estrattori e loro applicazioni in Pseudorandomness.

Algoritmo Fast Fourier Transform di Cooley e Tukey per trovare DFT. (Anche se, come ipotizzato da Tukey, questa è stata una riscoperta di una tecnica ben nota, almeno nota a Gauss!)

Teorema di Barrington, (un risultato molto sorprendente ai suoi tempi)

Teorema di ripetizione parallela (anche se il risultato è buono, la prova non è facile)

Funzione di Lovasz Theta per stimare la capacità shannon di un grafico.

Algoritmo ellissoide che ha mostrato che LP è in P, sorprendendo molti in un momento in cui molti sospettavano ancora che potesse essere NP-Complete.

sorprendentemente una delle risposte più ovvie non ancora aggiunte. a volte si lavora troppo con qualcosa per vederlo in modo imparziale. la teoria della completezza NP lanciata da Cook / Levin e immediatamente amplificata da Karp che ha dato una prima indicazione della sua onnipresenza, ancora più presciente a posteriori. in molti modi questa è la nascita della moderna teoria della TCS e della complessità, e la sua domanda principale / chiave / nota P =? NP è ancora aperta dopo quattro decenni di intenso studio / attacco. P =? NP ha un premio Claymath da $ 1M per la sua soluzione.

la prova Cook ha introdotto l'NDTM che apparentemente non è affatto una semplice curiosità teorica ma una parte quasi estremamente fondamentale di TCS. ha lanciato un migliaio di navi, per così dire. inoltre, resiste / sfida continuamente gli sforzi tramite una delle altre tecniche chiave / potenti TCS menzionate in questo elenco, la diagonalizzazione, vista ad esempio nei risultati Oracle / Relativization BGS-75 - suggerendo che ci deve essere qualcosa di esotico e diverso in ogni possibile soluzione, ulteriormente suggerita / ampliata dal documento Razborov-Rudich Natural Proofs (premio Godel 2007).

ci sono molti, molti riferimenti al subj ma uno più recente con alcuni resoconti di prima mano della storia può essere trovato in The P =? NP Question e Godel's Lost Letter di RJ Lipton

Complessità di Kolmogorov e metodo di incomprimibilità .

Il metodo di incomprimibilità - basato sulla complessità di Kolmogorov - ha fornito un modo nuovo e intuitivo di formulare prove. In una dimostrazione tipica che utilizza il metodo dell'incomprimibilità, si sceglie innanzitutto un oggetto incomprimibile dalla classe in discussione. L'argomento dice invariabilmente che se una proprietà desiderata non regge, allora, contrariamente a quanto ipotizzato, l'oggetto può essere compresso e questo respinge la contraddizione richiesta.

Vedi ad esempio la prova che esiste un numero infinito di numeri primi, la prova alternativa del teorema di incompletezza di Godel o le connessioni tra la complessità di Kolmogorov e la complessità computazionale , ....

Sono rimasto (e lo sono ancora) stupito dal secondo teorema di ricorsione di Kleene . In apparenza, sembra semplice e non molto utile, ma in seguito ho scoperto che è profondo sia matematicamente che filosoficamente.

Quando ho anche letto della variante dimostrata su Turing Machines (affermando in modo molto informale che le macchine possono ottenere le proprie descrizioni o equivalentemente che ci sono macchine che producono la propria descrizione, come un programma che si stampa da solo ...), ho sentito il mio cervello torcersi così difficile, eppure incuriosito come mai prima d'ora. Quindi, vedi come viene usato il teorema per fornire prove di una riga per l'indecidibilità del problema di arresto e l'irriconoscibilità delle macchine minime ... ecc.

Teoremi di codifica di sorgente e canale di Shannon.

Una definizione matematica che distingueva tra trasmissione, ricevitore e mezzo e che ignorava la semantica del messaggio era un grande passo. L'entropia, nel contesto dei dati, è un'idea straordinariamente utile. E perché la teoria dell'informazione dovrebbe essere meglio conosciuta.

Un bellissimo risultato che si basa sul teorema del PCP afferma che è computazionalmente difficile (NP-difficile) soddisfare più di 7/8 delle clausole della formula 3SAT anche per quelli soddisfacenti.

algoritmo shors per factoring in BQP . secondo la mia opinione / memoria, il calcolo quantistico era più solo una curiosità teorica fino a quando questo risultato nel 1994, a quel punto sembra esploso l'interesse della letteratura e della ricerca nel calcolo della QM. è ancora probabilmente uno dei più importanti algoritmi QM conosciuti. assegnato il premio Gödel 1999. rivela anche che il factoring nel calcolo del QM è in un certo senso meglio compreso rispetto al calcolo classico, dove ad esempio la questione se il factoring sia NP completo è ancora aperta.

mi sembra che il test di primalità AKS P-time sia piuttosto bello sotto vari aspetti. una svolta all'epoca, una delle grandi ma piuttosto rare scoperte viste nella teoria della complessità nelle nostre vite. risolve un problema che risale all'antichità greca e si riferisce ad alcuni dei primi algoritmi inventati (setaccio di eratostene), ovvero l'identificazione efficiente dei numeri primi. è una prova costruttiva che il rilevamento della primalità è in P al contrario di molte grandi prove purtroppo non costruttive.

è interconnesso all'algoritmo di crittografia RSA menzionato in un'altra risposta perché quell'algoritmo deve trovare rapidamente numeri primi di grandi dimensioni, prima dell'algoritmo AKS questo era solo probabilisticamente possibile. è fondamentalmente connesso alla teoria dei numeri e ad altri problemi profondi, ad esempio la congettura di Riemann, che per molti versi è il regno originale dell'algoritmo.

assegnato il Premio Gödel 2006 e il Premio Fulkerson 2006

Penso che il teorema minore grafico di Robertson e Seymour siano le teorie più meravigliose che io abbia mai visto (e parzialmente letto). Prima di tutto è abbastanza complicato, ma le congetture di base non sono difficili e possono essere tutte persone che lavorano in TCS possono indovinarle. Il loro estremo sforzo per dimostrarli è stato meraviglioso. In effetti dopo aver letto alcuni dei documenti di quella serie capisco il potere della mente umana.

Anche il teorema minore grafico ha un grande impatto su diversi campi di TCS. Come teoria dei grafi, algoritmo di approssimazione, algoritmi parametrizzati, logica, ...

Una delle mie famiglie preferite di risultati è che sono risolvibili vari problemi di natura apparentemente infinita.

1. La teoria del primo ordine dei campi reali chiusi è decidibile (di Tarski). La geometria euclidea è anche un modello degli assiomi dei campi realmente chiusi, quindi, secondo Tarski, le dichiarazioni del primo ordine in questo modello sono decidibili.
2. L'aritmetica del presburger è decidibile.
3. La teoria del primo ordine dei campi algebricamente chiusi (questo include numeri complessi) è decidibile.
4. La logica monadica del secondo ordine su infinite (e finite) parole è decidibile. La prova è elegante e può essere insegnata agli studenti universitari.

Ci sono molti risultati adorabili sugli algoritmi probabilistici, che sono ingannevolmente semplici e un grande passo avanti nel modo in cui pensiamo al calcolo.

Il trucco di von Neumann per implementare una moneta giusta con una di parte. Siamo così abituati agli algoritmi probabilistici ora, ma da una prospettiva esterna, è incredibilmente bello. Sia l'algoritmo che la prova sono accessibili a chiunque conosca le probabilità del liceo.

Il risultato di Tim Griffin che controlla operatori come call/cc legati alla logica classica, estendendo la corrispondenza Curry-Howard.

Fondamentalmente, la digitazione di call/ccè tale che if$E$ ha tipo $\neg\neg \tau$, poi $\mathtt{call/cc}{(E)}$ ha tipo $\tau$. Questo funziona quando si interpreta il tipo$\neg\tau$ come $\tau\rightarrow\bot$, come è standard nella logica, e corrisponde al tipo di funzione che accetta a $\tau$e non ritorna mai più. Questo è esattamente ciò che fa una continuazione, facendo funzionare la corrispondenza.

Il suo documento , "Una nozione di controllo del tipo di formule", appare in POPL 1990.

Il mio preferito è l'algoritmo del tempo lineare di Rabin per calcolare la coppia di punti più vicina sul piano (o più precisamente la sua semplificazione). Comprende l'importanza del modello di calcolo, la potenza degli algoritmi randomizzati e un modo elegante di pensare agli algoritmi randomizzati.

Detto questo, CS è ancora lungi dal raggiungere il livello di eleganza che si incontra in matematica (beh, avevano 5000 anni di vantaggio), dalle definizioni / risultati di base in calcolo, topologia (teoremi a punto fisso), combinatoria, geometria (teorema di Pitagora http : //en.wikipedia.org/wiki/File: Pythag_anim.gif ), ecc.

Se cerchi la bellezza, cercala ovunque ...

Questo risultato è probabilmente un po 'recente per qualificarsi come fondamentale, ma credo che si possa qualificare l'interpretazione dei tipi come omotopia . Questa vista consente di interpretare i tipi dalla teoria dei tipi costruttiva come set con determinate proprietà geometriche, in questo caso l' omotopia .

Trovo questo punto di vista particolarmente bello in quanto rende semplici alcune osservazioni precedentemente complesse sulla teoria dei tipi, ad esempio il fatto che "assioma K" non è derivabile .

Una panoramica di questo campo in erba di Steve Awodey è disponibile qui .

La prova a conoscenza zero è un concetto molto interessante. Permette a un'entità, il prover, di dimostrare (con alta probabilità) a un'altra entità, il verificatore, che conosce "un segreto" (una soluzione a qualche problema NP, una radice quadrata modulare di un numero, un discreto registro di un certo numero ecc ...) senza fornire alcuna informazione sul segreto (che è difficile a prima vista, poiché la prima idea per dimostrare che si conosce un segreto è quella di dire effettivamente il segreto e che qualsiasi comunicazione che potrebbe tradursi in il verificatore che crede di conoscere il segreto può solo a priori aumentare la conoscenza del verificatore sul segreto).