Sottosistema di un albero rosso e nero

Mentre cercavo di correggere un bug in una libreria, ho cercato documenti per trovare subrange su alberi rossi e neri senza successo. Sto prendendo in considerazione una soluzione che utilizza le cerniere lampo e qualcosa di simile alla solita operazione di aggiunta utilizzata sugli algoritmi di eliminazione per strutture di dati immutabili, ma mi chiedo ancora se esiste un approccio migliore che non sono riuscito a trovare, o anche un limite minimo di complessità su tale operazione?

Per essere chiari, sto parlando di un algoritmo che, dato un albero rosso e nero e due confini, produrrà un nuovo albero rosso e nero con tutti gli elementi del primo albero che appartengono a tali confini.

Naturalmente, un limite superiore per la complessità sarebbe la complessità di attraversare un albero e costruirne un altro aggiungendo elementi.

Questa risposta combina alcuni dei miei commenti alla domanda e li espande.

L'operazione subrange su alberi rosso-neri può essere eseguita nel caso O (log n) nel caso peggiore, dove n è il numero di elementi nella struttura originale. Poiché l'albero risultante condividerà alcuni nodi con l'albero originale, questo approccio è adatto solo se gli alberi sono immutabili (o gli alberi sono mutabili ma l'albero originale non è più necessario).

Si noti innanzitutto che l'operazione subrange può essere implementata da due operazioni split. Qui l' operazione di divisione prende un albero rosso-nero T e un tasto x e produce due alberi L e R in modo tale che L sia costituito da tutti gli elementi di T minori di x e R gli elementi di T maggiori di x. Pertanto, il nostro obiettivo ora è implementare l'operazione di divisione su alberi rosso-neri nel tempo O (log n) nel peggiore dei casi.

Come eseguiamo l'operazione di divisione su alberi rosso-neri in O (log n) time? Bene, si è scoperto che esisteva un metodo ben noto. (Non lo sapevo, ma non sono esperto di strutture di dati.) Considera l' operazione di join , che prende due alberi L e R in modo tale che ogni valore in L sia inferiore a ogni valore in R e produca un albero costituito da tutti i valori in L e R. L'operazione di join può essere implementata nel tempo peggiore O (| r _L −r _R | +1), dove r _L e r _Rsono i ranghi di L e R, rispettivamente (ovvero il numero di nodi neri sul percorso dalla radice a ciascuna foglia). L'operazione di divisione può essere implementata utilizzando l'operazione O (log n) volte dell'operazione di join e il tempo totale nel caso peggiore è ancora O (log n) considerando una somma telescopica.

Le sezioni 4.1 e 4.2 di un libro [Tar83] di Tarjan descrivono come implementare le operazioni di join e split su alberi rosso-neri nel peggiore dei casi O (log n). Queste implementazioni distruggono gli alberi originali, ma è facile convertirle in implementazioni immutabili e funzionali copiando i nodi invece di modificarli.

Come nota a margine, i moduli Set e Map di Objective Caml forniscono le operazioni split e altre operazioni standard su (immutabili) alberi di ricerca binari bilanciati. Sebbene non utilizzino alberi rosso-neri (usano alberi di ricerca binari bilanciati con il vincolo che l'altezza sinistra e l'altezza destra differiscono al massimo per 2), anche guardare le loro implementazioni potrebbe essere utile. Ecco l'implementazione del modulo Set .

Riferimenti

[Tar83] Robert Endre Tarjan. Strutture dati e algoritmi di rete . Volume 44 della serie di conferenze regionali CBMS-NSF in Matematica applicata , SIAM, 1983.

La soluzione non è usare alberi rosso-neri. Negli alberi splay e negli alberi AVL il codice per la divisione e l'unione è molto semplice. Ti rimando ai seguenti URL con codice java per alberi di visualizzazione e alberi AVL che supportano questo. Vai al seguente URL e controlla Set.java (alberi avl) e SplayTree.java (alberi splay).

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

--- Danny Sleator

(Questo dovrebbe essere un commento, ma sono troppo nuovo per lasciare un commento.)

Voglio solo notare che potresti anche essere interessato all'operazione di "escissione", che restituisce il sottorange come un nuovo albero e l'albero di input senza il sottorange come un altro. È necessario avere il controllo sulla rappresentazione sottostante dell'albero, poiché il metodo noto si basa su collegamenti di livello. L'escissione corre nel tempo logaritmica alla dimensione dell'albero più piccolo , sebbene in senso ammortizzato ("ammortizzato" è iirc, perché non ho più accesso al foglio) Vedi:

K. Hoffman, K. Mehlhorn, P. Rosenstiehl e RE Tarjan, Ordinamento delle sequenze della Giordania in tempo lineare utilizzando alberi di ricerca collegati a livello, Informazioni e controllo, 68 (1986), 170–184

PS La citazione di cui sopra proviene dalla scrittura di melodia di Seidel. I melodi supportano anche l'escissione.

$n$$m$$[a,b]$

1. $O(\lg n)$$\ge a$$a$
2. $O(m)$
3. $O(m)$

$O(m+\lg n)$$O(n+m\lg m)$

$o(m)$$\Omega(\lg m)$$k$$\lg m$

Non ho elaborato i dettagli, quindi non sono sicuro di come la contabilità aggiuntiva influenzi il tempo di esecuzione.

$O(1)$$\Omega(\lg m)$