Partizione a 3 graffe per grafici di diametro fisso

Il problema della partizione a 3 cricche è il problema di determinare se i vertici di un grafico, diciamo , possano essere suddivisi in 3 cricche. Questo problema è NP-difficile con una semplice riduzione del problema della 3 colorabilità. Non è difficile vedere che la risposta a questo problema è semplice quando o . Il problema rimane NP-difficile quando con una semplice riduzione da se stesso (dato un grafico , aggiungi un vertice e collegalo a tutti gli altri vertici).$G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

Qual è la complessità di questo problema per i grafici con per ?$\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

Il problema sembra essere in .$P$

Prendi due vertici , con la distanza esattamente 3 (tale coppia deve esistere quando ). Devono avere colori diversi (userò R, G, B per indicare 3 colori e i vertici nella stessa cricca sono colorati dello stesso colore). Wlog supponiamo che sia colorato in rosso e che sia colorato in verde.$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

Ora il resto dei vertici è suddiviso in 3 set: (vicini di ), e . Il terzo set deve essere colorato blu perché sono adiacenti né né . I vicini di devono essere colorati di rosso o di blu perché non sono adiacenti a , allo stesso modo i vicini di devono essere colorati o verde o blu. Ogni vertice ora ha al massimo due scelte, quindi il problema diventa un'istanza 2-SAT che possiamo risolvere in tempo polinomiale.$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$