Partizione a 3 graffe per grafici di diametro fisso


11

Il problema della partizione a 3 cricche è il problema di determinare se i vertici di un grafico, diciamo , possano essere suddivisi in 3 cricche. Questo problema è NP-difficile con una semplice riduzione del problema della 3 colorabilità. Non è difficile vedere che la risposta a questo problema è semplice quando o . Il problema rimane NP-difficile quando con una semplice riduzione da se stesso (dato un grafico , aggiungi un vertice e collegalo a tutti gli altri vertici).Gdiam(G)=1diam(G)>5diam(G)=2G

Qual è la complessità di questo problema per i grafici con per ?diam(G)=p3p5

Risposte:


6

Il problema sembra essere in .P

Prendi due vertici , con la distanza esattamente 3 (tale coppia deve esistere quando ). Devono avere colori diversi (userò R, G, B per indicare 3 colori e i vertici nella stessa cricca sono colorati dello stesso colore). Wlog supponiamo che sia colorato in rosso e che sia colorato in verde.uvp3uv

Ora il resto dei vertici è suddiviso in 3 set: (vicini di ), e . Il terzo set deve essere colorato blu perché sono adiacenti né né . I vicini di devono essere colorati di rosso o di blu perché non sono adiacenti a , allo stesso modo i vicini di devono essere colorati o verde o blu. Ogni vertice ora ha al massimo due scelte, quindi il problema diventa un'istanza 2-SAT che possiamo risolvere in tempo polinomiale.Γ(u)uΓ(v)VΓ(u)Γ(v)uvuvv


1
puoi descrivere la corrispondente formulazione 2-SAT?
user5153

1
Sia vero se e solo se coloriamo il vertice blu. Considera due vertici e non collegati da un bordo. Supponiamo che entrambi possano essere blu o rossi. Devi avere le seguenti clausole nella tua istanza 2-SAT: e . L'altro caso in cui uno di essi può essere blu o rosso e l'altro blu o verde è simile (è sufficiente una clausola). B(v)vuv(B(v)B(u))(B(v)¯B(u)¯)
Babak Behsaz
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.