Decidibilità dei numeri trascendentali

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Ho una domanda, la cui risposta è probabilmente ben nota, ma non riesco a trovare nulla di significativo dopo un po 'di ricerche, quindi apprezzerei un po' di aiuto.

La mia domanda è se è noto che decidere se un numero è trascendentale è indecidibile.

Forse, uno assume come input, diciamo un programma che restituisce l'i ^ esimo bit del numero. Grazie in anticipo per eventuali suggerimenti.

computability computable-analysis

— ipso facto
fonte

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Se i reali sono rappresentati da programmi che calcolano un dato bit, o programmi che calcolano approssimazioni razionali o qualsiasi tipo simile di programmi, allora gli unici insiemi decidibili di reali sono quelli banali (cioè quelli che contengono tutti i reali calcolabili o nessun reale calcolabile) , dal teorema di Rice.

— Emil Jeřábek

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Come viene mostrata questa implicazione?

$\:$

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La soluzione di Kristoffer può essere usata per dimostrare che, supponendo che i reali siano rappresentati in modo da poter calcolare i limiti delle sequenze di reali che sono calcolabilmente Cauchy. Ricordiamo che una sequenza è calcolabile Cauchy se esiste una mappa calcolabile tale che, dato qualsiasi che abbiamo per tutti $(a_n)_n$ $f$ $k$ $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ $m, n \geq f(k)$ . Le rappresentazioni standard dei reali sono così, ad esempio quella in cui un reale è rappresentato da una macchina che calcola un'approssimazione razionale arbitrariamente buona. (Possiamo anche parlare in termini di cifre di calcolo, ma poi dobbiamo consentire cifre negative. Questo è un problema ben noto nella teoria della calcolabilità dei reali.)

$S \subseteq \mathbb{R}$ $(a_n)_n$ $x = \lim_n a_n$ $S$ $x$ $S$

Prova. Supponiamo che fosse decidibile. Data qualsiasi macchina di Turing , considera la sequenza definita come È facile verificare che sia calcolabile come Cauchy, quindi possiamo calcolare il suo limite . Ora abbiamo iff ferma, quindi possiamo risolvere il problema di Halting. QED. $S$ $T$ $b_n$

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

y \in S

$y \in S$

T

$T$

C'è un doppio teorema in cui si assume la sequenza è fuori ma il suo limite è in . $S$ $S$

Esempi di insiemi soddisfano queste condizioni sono: un intervallo aperto, un intervallo chiuso, i numeri negativi, il singleton , i numeri razionali, i numeri irrazionali, i numeri transcedenti, i numeri algebrici, ecc. $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

Un insieme che non soddisfa le condizioni del teorema è l'insieme di numeri razionali tradotti da un numero non calcolabile . Esercizio: è decidibile? $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— Andrej Bauer
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Grazie per la tua risposta. Solo un chiarimento, il teorema dice che se l'insieme S ha almeno un punto limite esterno a S, allora decide se un elemento x è in S indecidibile? Quindi, sono un po 'confuso riguardo all'intervallo chiuso negli esempi.

— ipsofacto

L'intervallo chiuso segue dalla doppia teorema in cui si prende una sequenza esterna il cui limite è in .

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

Che cosa significa per di essere "al di fuori computably" (in contrapposizione a "al di fuori ") ?

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$

$\:$

$\;\;$

Quello era un errore di battitura. Lo credo, grazie per averlo notato. Altrimenti, " è calcolabile al di fuori di " potrebbe significare qualcosa del tipo "per ogni potremmo calcolare un razionale positivo tale che ", cioè la frase " "è realizzato. Ma se si crede in linea di principio Markov, allora si può ricostruire una tale mappa da solo sapendo che non è in , quindi in questo caso non v'è alcuna differenza tra "esterno e 'computably esterno '.

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

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Data una macchina di Turing , definire una macchina di Turing rappresenta un numero come segue: corro per passi sull'ingresso vuoto. Se ferma, emette . Altrimenti emetti l' bit di . $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ $M$ $0$ $i$ $\pi$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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L'insieme dei trascendentali non è aperto in (in particolare, è denso e codenso in Quindi è indecidibile. $\mathbf R$ $\mathbf R$

— David Harris
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L'insieme di numeri reali calcolabili non è aperto in (in particolare, è denso e codificato in ), ma è decidibile.

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

$\:$

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Ricky, questo non è vero. Dato un oracolo per un numero reale, non è possibile determinare se è calcolabile o meno.

— David Harris,

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Il set che ho dato è decidibile, dall'algoritmo che risponde sempre "Sì".

$\:$ La tua seconda frase mostra che il set che ho dato non è decidibile di tipo due.

$\;\;$

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

@Carl: esiste un algoritmo per assegnare un indice

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$

e

$e$

$\hspace{.1 in}$ un reale calcolabile.

$\;\;$ Questo è l' unico senso interessante di decidibilità di insiemi di reali, perché

$\hspace{.2 in}$ il tuo (1) è soddisfatto esattamente da insiemi senza reali calcolabili

$\hspace{2.2 in}$ e il tuo (2) è soddisfatto esattamente da

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$