Rappresentazione di grafici non planari con cerchi sovrapposti

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Sappiamo che possiamo rappresentare qualsiasi grafico planare da una serie di cerchi nel piano, noto come grafico a moneta . Ogni cerchio rappresenta un vertice e c'è un bordo tra due vertici se e solo se i cerchi "baciano" al loro confine.

Supponiamo che invece permettiamo ai cerchi di sovrapporsi e che rappresentino un bordo di una coppia di cerchi che si intersecano al loro interno? Quale classe di grafici possiamo rappresentare in questo modello? Chiaramente possiamo rappresentare grafici completi (ogni cerchio interseca ogni altro cerchio). Possiamo rappresentare tutti i grafici in questo modo?

— Joe
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L'articolo definitivo è un articolo di Hlineny e Kratochvil del 2001. In esso mostrano che il problema di riconoscere un grafico di intersezione del disco (la tua domanda) è NP-difficile, il che suggerisce che sarà difficile trovare una caratterizzazione chiara. Sottolineano inoltre che non può essere rappresentato come intersezione di dischi, rispondendo all'altra parte della domanda. $K_{3,3}$

— Suresh Venkat
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Più precisamente dovrebbe essere vero che il problema è completo per la teoria della decisione esistenziale dei reali. Questo è noto per i grafici di intersezione del disco dell'unità - vedere homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/SphericityDotproduct.pdf - ma non conosco un riferimento per i grafici di intersezione del disco arbitrari.

— David Eppstein

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Inoltre, si può dimostrare usando gli argomenti della dimensione VC che la famiglia di qualsiasi grafico di intersezione definita da forme "semplici" è piuttosto limitata e non può includere molti grafici. In particolare, esiste un grafico a dimensioni costanti che non possono indurre.

— Sariel Har-Peled

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In un articolo con McDiarmid abbiamo mostrato che il numero di grafici etichettati su vertici che sono grafici di intersezione di dischi è che è molto inferiore a $n$ $n^{3n} \cdot \Theta(1)^n$ , il numero totale di grafici etichettati suvertici e molto altro che, il numero di grafici planari (toccando i grafici dei dischi) suvertici. (Qui intendo peruna quantità che è limitata sotto dae sopra daper alcune costanti ) $2^{{n\choose 2}}$ $n$ $n^n \Theta(1)^n$ $n$
$\Theta(1)^n$ $c^n$ $C^n$ $c,C > 0$

@ David: grazie per aver menzionato il mio lavoro!
Inoltre, non sono a conoscenza di alcun documento che riduca la teoria esistenziale dei reali (ERT) per i grafici a disco arbitrari. Tuttavia, in un altro articolo con McDiarmid , abbiamo fornito una costruzione per "incorporare" le disposizioni di linea in un grafico a disco che potrebbe essere trasformato in una prova di completezza per ERT con qualche lavoro aggiuntivo in linea con quello che abbiamo fatto nel documento con Kang.

Tobias Mueller

— Tobias Mueller
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