Rilevamento delle relazioni intere per somma sottoinsieme o NPP?

Esiste un modo per codificare un'istanza della somma del sottoinsieme o il problema della partizione numerica in modo che una (piccola) soluzione a una relazione intera dia una risposta? Se non sicuramente, allora in un senso probabilistico?

So che LLL (e forse PSLQ) sono stati usati con moderato successo nel risolvere i problemi di somma dei sottoinsiemi nella regione 'bassa densità', dove l'intervallo di numeri scelti è maggiore di , ma questi metodi non si adattano bene ai casi di dimensione maggiore e sicuro nella regione 'alta densità', quando l'intervallo di numeri scelti è molto più piccolo di . Qui a bassa densità e alta densità si riferisce al numero di soluzioni. La regione a bassa densità si riferisce alle poche o nessuna soluzione esistente, mentre l'alta densità si riferisce a una regione con molte soluzioni. $2^N$ $2^N$

Nella regione ad alta densità, LLL trova relazioni intere (piccole) tra le istanze fornite, ma all'aumentare della dimensione dell'istanza, la probabilità che la relazione sia trovata come una soluzione di Somma di sottoinsieme o numero di partizione numerica praticabile diventa in modo decrescente.

Il rilevamento delle relazioni intere è polinomiale all'interno di un limite esponenziale di ottimale, mentre la somma di sottoinsieme e NPP sono ovviamente NP-complete, quindi in generale ciò non è probabilmente possibile, ma se l'istanza è disegnata in modo uniforme in modo casuale, ciò potrebbe renderlo più semplice?

O non dovrei nemmeno porre questa domanda e invece chiedermi se esiste un modo per ridurre il limite esponenziale dalla risposta ottimale al posto di un aumento esponenziale del calcolo?

— user834
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Non ho ricevuto alcuna risposta, quindi ho postato incrociato su mathoverflow: mathoverflow.net/questions/38063/…

— user834

Questa è una domanda molto interessante, aspetto anche risposte. Fondamentalmente stai chiedendo una riduzione del tempo polinomiale (forse casuale) dalla somma del sottoinsieme o dalla NPP alla relazione intera. Che ne dici di questo, se

è l'obiettivo del problema della somma del sottoinsieme e

è un insieme di numeri interi positivi, con

una soluzione che soddisfa

. Questa è esattamente una combinazione lineare con coefficienti reali pari a 1. Se per ogni

hai quella

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

c'è sempre una soluzione e anche la relazione tra mappatura e numero intero ti darà una soluzione.

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$

— Marcos Villagra,

@Marcos Villagra: il tuo commento è un po 'difficile da analizzare ... si può incorporare il problema come un sottoinsieme somma / numero problema partizione in un reticolo (vedi qui per una recensione), la domanda sta trovando un modo per limitare i coefficienti al set desiderato (0,1 o -1,1, diciamo). LLL troverà una relazione intera, anche piccola, ma solo un 2 o 3 come coefficiente la invaliderà come risposta di una partizione somma / numero sottoinsieme.

— user834

$m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

Tuttavia, Flaxman e Przydatek forniscono un algoritmo che risolve i problemi di somma dei sottoinsiemi di media densità nel tempo polinomiale atteso.

Controlla questo riferimento:

Flaxman e Przydatek, risoluzione dei problemi di somma dei sottoinsiemi di media densità nel tempo polinomiale atteso

— Mohammad Al-Turkistany
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Questo risultato è solo per la scelta dei numeri nell'istanza Somma del sottoinsieme significativamente inferiore a quanto desidero. Scelgono l'intervallo di numeri nell'ordine di log (n) ^ 2 mentre io sono interessante nell'intervallo di numeri nell'ordine di 2 ^ n. Esistono algoritmi ben noti per risolvere la somma dei sottoinsiemi quando l'intervallo di numeri è limitato per essere così basso e sembra che abbiano appena ampliato un po 'questo intervallo, il che è fantastico, non è proprio quello che stavo cercando. Grazie comunque.

— user834