È stato fatto qualche lavoro su come varia la complessità delle istanze casuali di # 2-SAT con la densità della clausola? Cioè: in che modo varia la difficoltà di contare soluzioni soddisfacenti a un'istanza di 2-SAT generata casualmente , al variare della densità della clausola? In particolare, sono noti risultati rigorosi che coinvolgono soglie critiche?
Naturalmente, poiché 2-SAT ∈ P , la complessità tipica del conteggio dipende in parte dalla probabilità con cui un'istanza è soddisfacente; le istanze la cui densità di clausole è superiore alla soglia critica per SAT / UNSAT avranno in genere una complessità di conteggio facile, poiché la risposta è " zero " quasi sicuramente, nel limite da n . Tuttavia, la complessità del conteggio potrebbe essere ancora facile per le istanze di 2-SAT che hanno una densità vicino o appena al di sopra della soglia critica per n finito : ci si potrebbe aspettare che un'istanza soddisfacente avrà solo un piccolo numero di soluzioni, il che potrebbe essere facile enumerare a causa della rigidità dei vincoli.
Per k -SAT con k ≥ 3, la difficoltà di determinare se un'istanza è soddisfacente o insoddisfacente sembra essere la più alta vicino alle soglie critiche che separano la fase SAT dalla fase UNSAT, in parte mentre si cerca di determinare se esiste almeno una soluzione soddisfacente. Per # 2-SAT , la difficoltà non può trovarsi nel determinare se esiste almeno una soluzione; quindi ci si dovrebbe aspettare che la difficoltà risieda probabilmente nel determinare il numero di soluzioni per formule soddisfacenti di valore significativo ma non elevato numero di vincoli, ovvero laddove vi siano abbastanza vincoli da indurre dipendenze non banali tra le variabili, ma non così tante da determinare eccessivamente le possibili assegnazioni.