Che cos'è un algoritmo per trovare una copertura minima del vertice su un grafico bipartito con vertici ponderati?

So che per un grafico bipartito non ponderato, posso trovare la copertura minima del vertice trovando prima la corrispondenza massima e trasformandola in una copertura vertice usando il Teorema di König. C'è una modifica che si potrebbe usare se i nodi sono ponderati?

ds.algorithms graph-theory

— Andrey Fedorov
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Sebbene la soluzione fornita da Shiva Kintali risolva il tuo problema, vorrei solo aggiungere una breve osservazione: il teorema di König è tutto incentrato sulla cardinalità. Potresti aggiungere pesi, trovando una corrispondenza bipartita massima a costo minimo (ci sono algoritmi per questo con pesi edge; pesi nodo facili da usare invece), ma avresti ancora ottenere la copertura minima del vertice a costo minimo - che potrebbe non essere la copertura del vertice di costo minimo (ovvero che potrebbe consistere in più nodi). Una corrispondenza min-costo senza vincoli / ottimizzazione della cardinalità sarebbe semplicemente vuota (per pesi positivi) ...

— Magnus Lie Hetland

Il problema della copertura del vertice ponderato può essere formulato come un programma intero (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cover ). Quando il grafico di input è bipartito, la matrice di vincoli di questo IP è totalmente unimodulare. Quindi questo IP può essere risolto in tempo polinomiale.

Per maggiori dettagli sulle matrici unimodulari totali e sugli algoritmi corrispondenti, vedere l'eccellente (tre volumi) libro di Alexander Schrijver .

— Shiva Kintali
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Per essere più precisi, l'IP può essere risolto semplicemente risolvendo il rilassamento dell'LP. Inoltre, si può notare che il doppio dell'LP è una generalizzazione della corrispondenza (con capacità corrispondenti ai pesi dei vertici nell'istanza di copertura del vertice) e può essere risolta riducendo al flusso massimo nel modo consueto.

— Chandra Chekuri,

Il codice peudo @ChandraChekuri della riduzione del flusso massimo si trova nella Figura 4 nel calcolo incrementale delle buste di risorse nei modelli produttore-consumatore

— xuhdev