Completamento minimo del grafico del ciclo dispari senza accordi: NP-hard?

Il seguente interessante problema è emerso nelle mie ricerche di recente:

ISTANZA: Grafico . $G(V, E)$

SOLUZIONE: un completamento del ciclo dispari senza accordi, definito come un superset dell'insieme di bordi modo che il grafico completato abbia la proprietà che ogni fronte in sia contenuto in un ciclo dispari senza accordi. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

MISURA: la dimensione del completamento, ovvero . $|E' - E|$

Finora, siamo stati in grado di dimostrare che una versione modificata di questo problema è NP-completa, dove invece di richiedere che "ogni fronte in sia contenuto in un ciclo dispari senza accordi", abbiamo bisogno della proprietà più forte che "ogni bordo è contenuto in un triangolo (ciclo di lunghezza 3) ". (Notare che ciò non equivale al problema MINIMO COMPLETAMENTO DEL GRAFICO CHORDALE .) $G'$

Il primo è facilmente visto come una generalizzazione del secondo, ma finora tutti i miei sforzi per dimostrarlo sono falliti. Qualcuno potrebbe venire con un puntatore / riferimento / ecc.?

— Gabor Retvari
fonte

il problema sembra fortemente correlato a grafici perfetti che sono perfetti se c'è un buco dispari (anti-) (ciclo dispari senza accordi almeno di lunghezza 5) [altro su wikipedia]. quindi suggerisci forse potresti provare a riformulare la domanda in termini di una domanda su grafici perfetti.

— vzn,

@vzn: Non sono sicuro che questo forte teorema possa essere di alcun aiuto qui.

— domotorp

Possiamo decidere in P se ogni fronte di G è contenuto in un ciclo dispari senza accordi? Immagino sia possibile, ma non vedo come.

— domotorp

Bene, ora abbiamo due problemi. Facilmente, avremmo una decisione in P se potessimo decidere per ogni fronte se è in un ciclo dispari senza accordi. Ho trovato un riferimento , affermando che le domande "Un grafico contiene un ciclo dispari indotto di lunghezza maggiore di tre, che passa attraverso un vertice prescritto?" e "Un grafico contiene un percorso dispari indotto tra due vertici prescritti?" sono NP-complete, ma non risolvono completamente il nostro caso. Si può scoprire che il problema originale non è in NP, ma può comunque essere NP-difficile.

— Gabor Retvari,

puoi indicare quale sezione del tuo documento definisci il problema sopra e quale nel documento a cui ti riferisci. a ("versione modificata dimostrata NP completa")

— vzn

Dimostriamo che il problema è NP-difficile anche nella sua forma decisionale, vale a dire "Il grafico di input già un completamento del ciclo dispari senza accordi?" "Riducendo dal seguente problema: $G$

Problema P : Dato un grafico e un bordo , c'è un ciclo dispari senza accordi di lunghezza maggiore di 3 che passa attraverso ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Questo problema è noto per essere NP-difficile mediante la riduzione da '' rilevazione di cicli pari senza accordi che attraversano un determinato nodo '' nel riferimento dato in uno dei tuoi commenti che è indicato nel paragrafo prima della sezione 3 lasciando e : $p=0$ $q=2$

Per inciso, lascia che e siano numeri interi fissi arbitrari. I seguenti problemi sono NP-completi: un grafico contiene un ciclo indotto attraverso un vertice prescritto , di lunghezza (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Potrebbe esserci una riduzione di Karp, ma se ne consentiamo una Cook, considera la seguente riduzione: Sostituendo il dato grado d nodo in un sottografo completo di dimensione d con bordi in uscita adeguati. Quindi per ogni bordo nel grafico completo possiamo interrogare l'oracolo che risolve il problema P. Si noti che un ciclo pari senza accordi che passa attraverso il nodo dato corrisponde a un ciclo dispari senza accordi di lunghezza maggiore di 3 che passa attraverso uno dei bordi nel grafico completo.)

Ora per la riduzione principale. Data un'istanza del Problema P, per prima cosa rileviamo se ci sono triangoli che attraversano ; in tal caso, eliminare ogni nodo che forma un triangolo con . Si noti che l'eliminazione dei nodi che formano un triangolo con non rimuoverà alcun ciclo dispari senza accordi che passa attraverso (dalla proprietà chordless). $e$ $e$ $e$ $e$

Quindi, per ogni fronte diverso da aggiungiamo un nodo ausiliario e due bordi e . Si noti che il nuovo grafico ha la seguente proprietà: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

ha un ciclo dispari senza accordi di lunghezza maggiore di 3 che passa attraverso se e solo se è un completamento del ciclo dispari senza accordi. $G$ $e$ $G'$

Per la sola direzione if, si può provare considerando diversi tipi di spigoli in . Ogni bordo diverso da (compresi quelli appena aggiunti) sarà in almeno un triangolo (quello che contiene il nodo ausiliario); ed sarà in un ciclo dispari senza accordi in poiché c'è un ciclo dispari senza accordi che passa attraverso in , e il ciclo non viene rimosso durante il processo di eliminazione dei nodi. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

$e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Ho problemi a seguire una delle riduzioni. Nella prima riduzione, se il nodo dato v ha grado, diciamo 5, quindi dopo la riduzione diventa K_5 e questo K_5 contiene un ciclo di lunghezza dispari, ma non corrisponde a un ciclo di lunghezza pari contenente v. In la riduzione principale, supponiamo che G = (V, E) dove V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} ed e = 34. G ha un ciclo di lunghezza 5 che attraversa e, ma in G ', il bordo 34 è un ponte e non appartiene a nessun ciclo dispari, se capisco correttamente la definizione della tua riduzione.

— Tsuyoshi Ito,

e

$e$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

@ Hsien-ChihChang 張顯之: comunque: poiché la generosità scade presto e sarò lontano dal mio computer, ti conferisco il prezzo adesso. Grazie mille per la tua risposta, mi ha davvero aiutato a pensare al problema in modi nuovi. Se puoi tornare più tardi e ripulire i problemi di cui sopra, ti sarei molto grato.

— Gabor Retvari,

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之