Algoritmi di approssimazione per problemi in P

Di solito si pensa a soluzioni approssimative (con garanzie) a problemi NP-difficili. C'è qualche ricerca in corso su problemi di approssimazione già noti in P? Questa potrebbe essere una buona idea per diversi motivi. Dall'alto della mia testa, un algoritmo di approssimazione può funzionare con una complessità molto più bassa (o anche una costante molto più piccola), potrebbe usare meno spazio o potrebbe essere molto meglio parallelizzabile.

Inoltre, schemi che forniscono compromessi tempo / precisione (FPTAS e PTAS) potrebbero essere molto interessanti per problemi in P con limiti inferiori inaccettabili su input di grandi dimensioni.

Tre domande: c'è qualcosa che mi manca che rende questa ovviamente una cattiva idea? C'è ricerca in corso nello sviluppo di una teoria di questi algoritmi? Se no, almeno, qualcuno ha familiarità con singoli esempi di tali algoritmi?

$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$$1/\epsilon$

Ci sono un certo numero di trucchi, riduzioni e principi, e il nuovo libro di Sariel Har-Peled ne è pieno. Non credo che esista una teoria della complessità ricca in quanto tale.

$P$

$\mathcal{O}(n\cdot\text{polylog}(n))$

(elenco di articoli) http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/precon/precon.html

$\epsilon$

$s-t$

3) Trovare un'approssimazione sparsa della trasformata di Fourier di un segnale in tempo sublineare http://arxiv.org/pdf/1201.2501v1.pdf

4) Trovare il componente principale approssimativo di una matrice http://www.stanford.edu/~montanar/RESEARCH/FILEPAP/GossipPCA.pdf

Non sono a conoscenza di una teoria generale sviluppata su algoritmi di approssimazione per problemi in P. Conosco un problema particolare, tuttavia, che si chiama oracoli di distanza approssimativa:

$G = (V, E)$$n = |V|$$m = |E|$$s, t \in V$

$1$$O(1)$$O(m + n\log n)$

$k$

Per grafi sparsi, una più generale spazio-tempo-approssimazione trade-off può essere visualizzata .

Spesso cerchiamo soluzioni approssimative a problemi semplici come trovare il percorso più breve in un grafico, trovare il numero di elementi unici in un set. Il vincolo qui è che l'input è grande e vogliamo risolvere il problema approssimativamente usando un singolo passaggio sui dati. Esistono diversi algoritmi di "streaming" progettati per ottenere soluzioni approssimative in tempi lineari / quasi lineari.

$O(nm)$$n$$m$

Sono noti algoritmi di approssimazione rapida per la massima corrispondenza. Almeno uno che mi viene subito in mente è http://arxiv.org/pdf/1112.0790v1.pdf .

$P$

Penso che l'intera area dello streaming di dati e degli algoritmi sub-lineari sia uno sforzo in questa direzione. Nello streaming di dati, l'attenzione è rivolta alla risoluzione dei problemi nello spazio o (n) e idealmente O (polilogo (n)) mentre negli algoritmi sub-lineari si tenta di ottenere algoritmi con o (n) tempo di esecuzione. In entrambi i casi, è spesso necessario scendere a compromessi con un algoritmo di approssimazione randomizzato.

Puoi iniziare con il materiale in questa pagina e questo .

$\epsilon$$\epsilon$. Esistono numerosi articoli sulla risoluzione di casi speciali di problemi di programmazione lineare come i flussi di multipacità (e più in generale l'imballaggio e la copertura di LP) approssimativamente. Non esiste una teoria di approssimazione separata per i problemi in P vs problemi che si trovano in NP (non sappiamo se P sia uguale o meno a NP). Si può parlare di una certa tecnica applicabile per una certa classe di problemi. Ad esempio, sono note tecniche generali per la risoluzione approssimativa dell'imballaggio e la copertura di programmi lineari e alcune varianti.

Dimitris menziona approssimative trasformazioni di Fourier. questo è ampiamente utilizzato nella compressione delle immagini, ad esempio nell'algoritmo JPEG. [1] sebbene non abbia mai visto un documento che lo enfatizzi, sembra in un certo senso che una compressione con perdita di dati [2] (con limiti derivabili) possa anche essere presa come un algoritmo di approssimazione P-time. gli aspetti di approssimazione sono altamente sviluppati e perfezionati / specializzati nel senso che sono ottimizzati in modo tale che non possano essere percepiti dalla visione umana, cioè la percezione umana di codificare artefatti (approssimativamente definita come differenza tra approssimazione e compressione senza perdita) è minimizzata.

questo è legato alle teorie su come l'occhio umano percepisce o se stesso in realtà "approssima" la codifica del colore attraverso un processo algoritmico. in altre parole, lo schema / algoritmo di approssimazione teorico è effettivamente intenzionalmente progettato per corrispondere allo schema / algoritmo di approssimazione fisico / biologico (codificato dall'elaborazione di informazioni biologiche, vale a dire neuroni nel sistema visivo umano).

quindi, la compressione è strettamente accoppiata con l'approssimazione. in JPEG la trasformata di Fourier è approssimata dal DCT, trasformata discreta di coseno [3]. principi simili sono impiegati su più frame per lo standard di compressione video MPEG. [4]

[1] compressione jpeg, wikipedia

[2] compressione con perdita, wikipedia

[3] DCT, trasformata discreta di coseno, wikipedia

[4] MPEG, wikipedia

Può darsi che questo non risponda esattamente alla tua domanda, perché al momento posso solo ricordare alcune euristiche, ma sono sicuro che ci sono alcune approssimazioni, perché le ho già viste prima.

$O(f(k)*|G|^\alpha)$$f(k)$ problema e successive approssimazioni / euristiche (google semplice mostra i risultati nel 2010, 2011) o algoritmi per trovare la decomposizione dell'albero dei grafici.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020019002003939

è un collegamento all'articolo "Un semplice algoritmo di approssimazione per il problema della corrispondenza ponderata" di Doratha Drake e Stefan Hougardy che tratta il problema della corrispondenza ponderata.