Che cosa si sa delle soluzioni ai problemi di programmazione lineare intera sparsa?

Se ho un insieme di vincoli lineari in cui ogni vincolo ha al massimo (diciamo) 4 variabili (tutte non negative e con coefficienti {0,1} tranne una variabile che può avere un coefficiente -1), cosa si sa sulla soluzione spazio? Sono meno interessato a una soluzione efficiente (anche se per favore indica se ne è noto uno) piuttosto che sapere quanto piccolo può essere il minimo della funzione obiettivo, in funzione del numero di variabili e del numero di vincoli e del numero di variabili per vincolo.

Più concretamente, il programma è qualcosa di simile

minimizzare t
  soggetto a
per tutti i, x_i è un numero intero positivo
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...

Se è necessaria una domanda concreta, allora la soluzione minima obbedisce a t <= O (max {# di variabili, # di vincoli}), con la costante in O () a seconda della scarsità? Ma anche se la risposta è no, sono più interessato a sapere che tipo di libro di testo o di carta studiare per discutere di tali problemi, e se esiste un'area di studio dedicata a questo tipo di cose, ma proprio non lo so i termini da cercare. Grazie.

Aggiornamento: con ulteriore riflessione (e riflettendo sulla riduzione piuttosto semplice di 3SAT a ILP, che utilizza vincoli con tre variabili), mi rendo conto che il problema dei coefficienti è fondamentale (se ci sarà un algoritmo efficiente). Più precisamente, tutte le variabili x_i hanno coefficienti 0 o 1 (con al massimo tre coefficienti 1 in ogni vincolo), e tutte le variabili t hanno coefficienti -1 e tutti i confronti hanno variabili a sinistra e 0 a destra. Ho aggiornato l'esempio sopra per chiarire.

La risposta a questa (almeno alla domanda concreta sul delineare linearmente la soluzione) è no. Questo fa parte del seguente documento: http://arxiv.org/abs/1011.3493 . Il teorema 5.1 era la motivazione per questa domanda.

Il controesempio è questo:

caso base:

a_1 '+ b_1' - t ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t ≤ -1
a_1 '+ b_1' '- t ≤ -1

caso ricorsivo:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t ≤ -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t ≤ -1

insieme a richiedere loro di non essere negativi.

Puoi provare per induzione che qualsiasi soluzione reale deve soddisfare a_n ''> = a_n + 2 ^ n. Cambiamo le "<0" -qualità in "≤ -1" perché qualsiasi soluzione intera soddisfa "≤ -1" se e solo se soddisfa "<0".

Quindi, la morale è che n disuguaglianze di questa forma possono avere la proprietà che tutte le soluzioni intere hanno almeno un intero almeno esponenziale in n, certamente non delimitato linearmente come sospettavamo inizialmente.

Se la matrice dei coefficienti è totalmente unimodulare , allora esiste una soluzione efficiente tramite la normale programmazione lineare. Questo vale per qualsiasi ILP, non solo per quelli sparsi, anche se è più probabile che tu sia in grado di sfruttare questa proprietà per un ILP scarso come il tuo.

Sospetto che tu lo sappia già, quindi fammi provare e darti una risposta migliore. Prima di pensare troppo in dettaglio ai dettagli, la risposta alla tua domanda concreta è "sì", esiste un limite. L'intersezione di n disuguaglianze in m variabili definisce un politopo. Poiché i coefficienti sono così ben educati, possiamo elaborare un limite superiore sulla dimensione delle coordinate dei suoi vertici con un po 'di aritmetica. Questo ti dà un limite superiore molto semplice sulla dimensione di qualsiasi punto intero all'interno del polytope, e quindi su una soluzione al tuo programma intero. Hai già provato questo?

Il tuo problema in particolare ha un po 'di struttura (sono curioso, da dove viene?) Quindi sono fiducioso che possiamo essere molto più precisi di questo se ne discutiamo ulteriormente.

Ora, per la domanda più generale sulla ricerca di informazioni su questo argomento. Questo è il tipo di problema che tradizionalmente ricade nella teoria della programmazione lineare e intera, un sottoinsieme della programmazione matematica.

È un'area di ricerca piuttosto attiva, ma gran parte del lavoro si svolge nei dipartimenti di ricerca operativa sotto le voci di "ottimizzazione" e "programmazione matematica" anziché di informatica. Ci sono molti libri di testo disponibili che trattano l'argomento. Potresti considerare quello di Wolsey , che usiamo a Berkeley. Ecco un elenco sottoutilizzato di miti e controesempi di Greenberg, tra cui la programmazione intera e lineare, che può darti un'idea di ciò che le persone considerano nell'analisi di tali problemi. Wolsey è denso, ma un buon punto di partenza: ci sono molte tecniche per analizzare ILP e migliorare le formulazioni dei problemi al punto di efficienza.

Consentitemi di aggiungere che se perseguite l'approccio ingenuo, suggerisco, analizzando la geometria del politopo, che i termini da cercare riguarderebbero il limite delle dimensioni delle coordinate dei vertici del politopo. Questi termini emergono più spesso nella letteratura matematica sui polipetti.

È possibile trovare questo account di interesse:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

e in particolare l'articolo di G. Ziegler:

Lezioni frontali su 0-1 politopi

nel:

Kalai, Gil; Ziegler, Günter M. (2000), Polytopes: Combinatorics and Computing, DMV Seminar, 29, Birkhäuser, ISBN 9783764363512.