Complessità di "è un grafico un prodotto"

Questa domanda nasce dalla pura curiosità (è emersa pensando a riordinare una stringa , ma non sono sicuro che sia effettivamente correlata), quindi spero sia appropriata.

Ci sono vari prodotti grafici e sono interessato a nessuno di questi qui. Qual è la complessità nel determinare se un grafico è isomorfo a un prodotto non banale? (Certamente per il prodotto cartesiano, K = K ◻ 1 dove 1 è il grafico con un vertice.)$K$$K = K \square 1$$1$

Ho esaminato le pagine "fattore grafico" e "fattorizzazione grafica" su Wikipedia, ma nessuno dei due sembra essere correlato. Questo problema è noto con un altro nome?

Controlla il giornale Wilfried, Imrich; Iztok, Peterin, Riconoscimento dei prodotti cartesiani in tempo lineare . Discrete Math., 307, 3-5, Pagina (e): 472--483, 2007. Penso che Imrich abbia più documenti per altri prodotti.

Diversi prodotti grafici possono essere riconosciuti in tempi polinomiali. Come al solito il prodotto cartesiano è il più semplice, e il caso cartesiano è anche la base per gli algoritmi per molti altri prodotti. Il riconoscimento del prodotto lessicografico (composizione) equivale all'isomorfismo grafico.

Più in dettaglio:

Sia la classe dei grafici semplici finiti, e Γ 0 la classe dei grafici semplici finiti che possono avere auto-loop. (Chiaramente Γ ⊂ Γ 0. )$\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

$G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

Risultati rilevanti di Imrich e Klavžar:

$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

$\Gamma_0$

$O(m\log n)$$O(m)$

Per il prodotto lessicografico:

Teorema 6.20. Il problema decisionale se un dato grafico collegato sia il primo rispetto al prodotto lessicografico è difficile almeno quanto il problema dell'isomorfismo del grafico.

$n$$n$

Quindi, decidere se un grafico è primo rispetto al prodotto lessicografico equivale all'ISOMORFISMO DEL GRAFICO, rispetto alle riduzioni di Turing.

Il caso del prodotto diretto e forte con fattori senza loop automatici sembra essere assente dai riferimenti che ho esaminato. Gradirei qualsiasi suggerimento ai documenti che trattano questo caso, o un suggerimento sul perché non è interessante.

• Wilfried Imrich e Sandi Klavžar, Grafici dei prodotti: struttura e riconoscimento . Wiley, 2000. ISBN 0-471-37039-8.

Esiste un algoritmo a tempo lineare per determinare i fattori primi dei grafici collegati rispetto al prodotto cartesiano. Vedi l' articolo di Imrich e Peterin.