Rafforzamenti della sottomodularità

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Una funzione set è sottomodulare monotona se per tutte , $f$ $A,B$

f (UN) + f (B) \geq f (UN \cup B) + f (UN \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

Una proprietà più forte è

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ Prendendo

C = A \cup B

$C = A\cup B$ , questa proprietà implica una sottomodularità monotona.

Questa proprietà è nota?

sfondo

Questa proprietà è emersa durante il tentativo di caratterizzare le funzioni di copertura. Dato un universo ponderata $U$ (tutti i pesi sono non-negativi) e una famiglia $X$ di sottoinsiemi di $U$ , la funzione di copertura $f(S)$ è definita per $S \subseteq X$ come il peso totale degli elementi coperti da insiemi in $S$ . La funzione $f$ è sempre monotona e sottomodulare. Il contrario non è vero.

La proprietà in questione implica che $f$ è una funzione di copertura nel caso $|X| = 3$ . Proprietà simili e più complicate funzionano per più grandi $X$ . Tutte queste proprietà sono soddisfatte dalle funzioni di copertura, quindi questa è una caratterizzazione completa.

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— Yuval Filmus
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Esiste una completa caratterizzazione delle funzioni di copertura in termini di tali equazioni. Per | X |> 3 ci sono più equazioni di quelle indicate. Ognuna di queste equazioni può essere pensata come un vincolo alla derivata discreta . $k^{th}$

Funzione di aumento monotono se e solo se la derivata discreta del primo ordine è + ve. cioè quando . $f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

La sottomodularità se e solo se la derivata discreta del secondo ordine è -ve. ie . $(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

Allo stesso modo se si hanno condizioni per i successivi derivati si ottengono funzioni di copertura. (Penso che i segni debbano essere + ve per la derivata dell'ordine pari e -ve per la derivata dell'ordine dispari) $n$

Qualcosa di simile era già noto con probabilità. Una funzione di copertura può anche essere considerata una misura di probabilità (fino a una costante di ridimensionamento). L'unico riferimento che sono stato in grado di scavare era la pagina 439 del libro di Feller sulla probabilità.

— Ashwinkumar BV
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Grazie per il riferimento! La condizione della derivata discreta è leggermente diversa, poiché si considera l'aggiunta di un solo elemento alla volta. La monotonicità è piuttosto e la sottomodularità è . Quest'ultimo è infatti equivalente alla solita condizione solo quando nessuno di è un sottoinsieme dell'altro. Quindi la mia proprietà di terzo ordine (che richiede le precedenti in piena generalità) non appare nel documento.

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

— Yuval Filmus,

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Derivati discreti di ordine superiore delle funzioni impostate sono esplorati in sottomodularità, supermodularità e monotonicità di ordine superiore delle funzioni pseudo-booleane . Secondo loro, la condizione derivata discreta del terzo ordine è La condizione "aggregata" è menzionata nel documento "Una caratterizzazione di un cono di funzioni pseudo-booleane tramite disuguaglianze di tipo supermodularità" di Cramma, Hammer e Holtzman (disuguaglianza (4)), che fa parte di la rara collezione "Quantitative Methoden in den Wirtschaftswissenschaften".

\begin{matrix} f (UN \cap B) + f (UN \cap C) + f (B \cap C) + f ((UN \cap B) \cup (UN \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (UN \cap (B \cup C)) + f (B \cap (UN \cup C)) + f (C \cap (UN \cup B)) + f (UN \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

Modifica: la condizione effettiva data da Cramma, Hammer e Holtzman è Se metti , otterrai la sottomodularità.

\begin{matrix} f (UN) + f (B) + f (C) + f (UN \cap B \cap C) \geq \\ f (UN \cup B \cup C) + f (UN \cap B) + f (UN \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— Yuval Filmus
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